$f$ je homomorfizmus.$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\absl}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}$
Pre grupu $G=(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ definujme zobrazenie $\Zobr fGG$ predpisom
$$f(x)=\frac{x^2}{\abs{x}^2}.$$
a) Dokážte, že $f$ je homomorfizmus.
b) Zistite, čomu sa rovná $H=\operatorname{Ker} f$.
c) Nájdite podgrupu $G'$ grupy $G$ takú, že $G/H\cong G'$.
Svoje tvrdenia zdôvodnite.
\begin{align*}
f(x\cdot y)
&=\frac{x^2\cdot y^2}{\abs{xy}^2}\\
&=\frac{x^2}{\abs{x}^2}\cdot\frac{y^2}{\abs{y}^2}\\
&=f(x)\cdot f(y)
\end{align*}
Explicitne napíšem, že sme tu využívali to, že pre ľubovoľné komplexné čísla platí
\begin{gather*}
(z_1z_2)^2 =z_1^2\cdot z_2^2 \tag{1}\\
\abs{z_1z_2} = \abs{z_1}\cdot\abs{z_2} \tag{2}
\end{gather*}
K týmto vlastnostiam sa ešte vrátim. (Bral som ich ako známe vlastnosti komplexných čísel - ktoré nebolo treba odvodzovať. Samozrejme, ak ste v riešení napísali aj nejaké odvodenie, tak je to úplne v poriadku.)
Čomu sa rovná jadro.
Chceme nájsť všetky komplexné čísla $x$ také, že $f(x)=1$.
Pre $x\in\mathbb C\setminus\{0\}$ máme:
\begin{align*}
\frac{x^2}{\abs{x}^2}=1
&\Leftrightarrow \frac{x}{\abs{x}}=\pm1\\
&\Leftrightarrow x=\pm\abs{x}\\
&\Leftrightarrow x\in\mathbb R\setminus\{0\}
\end{align*}
V prvom kroku sme využili to, že pre komplexné čísla máme $z^2=1$ $\Leftrightarrow$ $z=\pm1$.
Spoiler:
Absolútna hodnota $\abs x$ ľubovoľného komplexného čísla je vždy nejaké nezáporné reálne číslo. Takže ak $x=\pm\abs{x}$, číslo $x$ musí byť reálne.
Obrátene, ak $x$ je reálne, tak máme dve možnosti: Pre $x\ge0$ platí $x=\abs{x}$. Pre $x\le0$ platí $x=-\abs{x}$.
Navyše sa zaoberáme iba komplexnými číslami rôznymi od nuly - preto tam máme $\mathbb R\setminus\{0\}$.
Veta o izomorfizme.
Z vety o faktorovom izomorfizme vieme, že $G/\Ker f\cong\Ima f$. Posledná časť úlohy je teda v podstate inak sformulovaná otázka, či vieme identifikovať ktoré komplexné čísla patria do množiny $$\Ima f=\{f(x); x\in G.\}$$
Pokúsime sa skontrolovať, že $\Ima f$ je presne jednotková kružnica, t.j.
$$\Ima f=\{y\in\mathbb C; \abs y=1\}.$$
Toto by mohlo byť do istej miery vidno, ak si človek skúsi nakresliť, čo vlastne robí zobrazenie $f$. Ale pokúsme sa napísať aspoň trochu poriadne aj formálny argument.
Chceme overiť dve veci (dve inklúzie resp. dve implikácie): Či pre každý prvok tvaru $y=f(x)$ platí $\abs y=1$. A tiež to, že každé komplexné číslo spĺňajúce $\abs y=1$ vieme dostať ako obraz nejakého prvku.
1. Obrazy ležia na jednotkovej kružnici.
Ak $y=f(x)$ pre nejaké $x$, tak platí
$$\abs y= \absl{\frac{x^2}{\abs{x}^2}}=\frac{\abs{x^2}}{\abs{x}^2}=\frac{\abs{x}^2}{\abs{x}^2}=1.$$
2. Každý prvok jednotkovej kružnice patrí do obrazu.
Ak máme nejaké $y$ také, že $\abs y=1$, znamená to, že
$$y=\cos\varphi+i\sin\varphi$$
pre nejaký uhol $\varphi$.
Potom stačí zobrať bod určený polovičným uhlom, t.j.
$$x=\cos\frac\varphi2+i\sin\frac\varphi2.$$
Pre tento bod máme $\abs x=1$ a $x^2=\cos\varphi+i\sin\varphi$. (Pripomeniem, že umocnenie komplexného čísla na druhú znamená umocniť veľkosť na druhú a zdvojnásobiť uhol.)
T.j. zistili sme, že
$$f(x)=\frac{x^2}{\abs{x}^2}=x^2=y.$$