msleziak.com

Zámerom bolo sčasti aj ukázať, že existuje štvorprvkové pole. (A teda existujú aj konečné polia iné ako $\mathbb Z_p$.)

Zostaňme pri tom, že sa pozrieme na tabuľku, ktorá bola v zadaní a rozmyslime si, čo o nej vieme povedať. Neskôr sa na iných predmetoch dozviete o konečných poliach viac:

• Pre každé prvočíslo $p$ a celé číslo $n\ge1$ existuje pole, ktoré má $p^n$ prvkov.
• Naučíte sa, ako sa takéto pole dá skonštruovať.
• Uvidíte aj to, že takéto pole existuje práve jedno (až na izomorfizmus).

Ak by sa náhodou niekto z vás trochu chcel pozrieť na niečo o tejto téme, tak ako obvykle, pridám aj linku na Wikipédiu: Finite field (tu je linka na súčasnú revíziu). Článok na Wikipédii má aj časť venovanú štvorprvkovému poľu: Finite field § Field with four elements.

Ale tu naozaj nechceme spraviť nič viac, iba skúsiť, či vieme doplniť tabuľku. (A potom sa môžeme zamyslieť nad tým, či vyšlo naozaj pole - aj keď toto už nebolo súčasťou zadania.)$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\sm}{\setminus}$

Majme štvorprvkovú množinu $F=\{0,1,a,b\}$ a binárne operácie $+$, $\cdot$ na tejto množine.
Ak viete, že $(F,+,\cdot)$ je pole, tak doplňte zvyšok zadaných tabuliek:

$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cccc}
+ & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 1 & a & b \\
1 & & 0 & & \\
a & & & 0 & \\
b & & & & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & a & b \\
a & & & & \\
b & & & &
\end{array}
\end{array}$$

T.j. v tabuľkách máme zadané, že $0+x=x$ a $x+x=0$ pre všetky $x\in F$. A tiež to, že $0\cdot x=0$ a $1\cdot x=1$ pre všetky $x\in F$.

Zdôvodnite, prečo váš výsledok je jediná možnosť, ako sa tieto tabuľky dajú doplniť. (To, či na konci naozaj vyšlo pole, overovať nemusíte.)

Ako sa dá doplniť tabuľka?
V poli o operáciách $+$ a $\cdot$ vieme, že sú komutatívne - takže z toho môžeme doplniť symetrické prvky, ktoré chýbajú.
$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cccc}
+ & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 1 & a & b \\
1 & 1 & 0 & & \\
a & a & & 0 & \\
b & b & & & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & a & b \\
a & 0 & a & & \\
b & 0 & b & &
\end{array}
\end{array}$$
Súčasne z toho, čo máme zatiaľ vyplnené, už vidíme, že neutrálny prvok pre sčitovanie je $0$ a pre násobenie to je $1$. (Takže označenie nuly a jednotky je také, na aké sme zvyknutí.)

Môžeme napríklad skúsiť využiť to, že $(F,+)$ je grupa - a teda v riadkoch a stĺpcoch sa nesmú opakovať prvky. (Využívame zákony o krátení.)
Teda napríklad $a+1$ nemôže byť $0$, $1$ ani $a$, zostáva nám iba možnosť
$$a+1=1+a=b$$
a po doplnení máme
$$\begin{array}{c|cccc}
+ & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 1 & a & b \\
1 & 1 & 0 & b & \\
a & a & b & 0 & \\
b & b & & & 0
\end{array}$$
Teraz nám už v druhom i treťom riadku (aj v zodpovedajúcich stĺpcoch) zostalo jediné voľné políčko - tam už máme jedinú možnosť ako tabuľku doplniť.

Dá sa to teda iba takto:
$$\begin{array}{c|cccc}
+ & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 1 & a & b \\
1 & 1 & 0 & b & a \\
a & a & b & 0 & 1 \\
b & b & a & 1 & 0
\end{array}$$

Podobnú techniku môžeme využiť na doplnenie tabuľky komutatívnej grupy $(F^*,\cdot)$. Napríklad z toho, že $ab$ nemôže byť ani $a$ ani $b$ dostaneme $ab=ba=1$.
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & a & b \\
a & 0 & a & & 1 \\
b & 0 & b & 1 &
\end{array}$$
A vieme už vyplniť aj zostávajúce voľné miesta:
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & a & b \\
a & 0 & a & b & 1 \\
b & 0 & b & 1 & a
\end{array}$$

Ak sa teda dá naozaj dostať pole doplnením voľných miest, tak jediná možnosť je:
$$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cccc}
+ & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 1 & a & b \\
1 & 1 & 0 & b & a \\
a & a & b & 0 & 1 \\
b & b & a & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 0 & 1 & a & b \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & a & b \\
a & 0 & a & b & 1 \\
b & 0 & b & 1 & a
\end{array}
\end{array}$$

Je to naozaj pole?$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\sm}{\setminus}$

Toto síce nebolo súčasťou úlohy, ale môžeme sa skúsiť zamyslieť aj nad tým, či sme skutočne dostali pole.

Niektoré časti vieme skontrolovať pomerne ľahko.
Vidíme, že $+$ a $\cdot$ sú binárne operácie - do tabuľky sme vždy dopĺňali iba prvky z $F$.

Mali by sme si rozmyslieť, či $(F,+)$ a $(F\sm\{0\},\cdot)$ sú grupy.
Našťastie máme už dosť skúseností s malými grupami: Vieme si všimnúť, že keď porovnáme $(F,+)$ s tabuľkou jednej známej štvorprvkovej grupy, tak to je v podstate to isté. A vieme nájsť aj trojprvkovú grupu, ktorá vyzerá rovnako ako $(F\sm\{0\},\cdot)$. Distributívnosť.
Ostatné podmienky z definície poľa máme teda skontrolované, zostáva nám ešte distributívnosť. Pýtame sa, či pre ľubovoľné $x,y,z\in F$ platí
$$x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z.\tag{D}$$
(Násobenie je komutatívne - stačí teda overovať jedno poradie.)

Pre štvorprvkovú množinu je azda ešte aj predstaviteľné, že by sme prešli všetky možnosti. Ale rýchlo si uvedomíme, že viaceré z nich vieme overiť naraz:

• Určite to funguje pre $x=0$ a $x=1$.
• Je to pravda aj v prípade, že $y=0$ alebo $z=0$.
• Pre sčitovanie zadané našou tabuľkou by sme mohli vidieť, že táto rovnosť platí aj pre $y=z$.

Zostalo nám teda už len pár možností - stačí sa pozerať na $x\in\{a,b\}$, $y,z\in\{1,a,b\}$ a súčasne $y\ne z$. (A navyše niektoré z nich si vieme ušetriť vďaka komutatívnosti. Prípadne nejakými ďalšími úvahami.)

Dá sa teda postupne prejsť ostatné možnosti, kde $x=a$. Podobne by sme mohli prejsť všetky možnosti pre $x=b$. Prípadne tam si vieme nejako ušetriť robotu. Samozrejme, riešenie cez vyskúšanie všetkých možností nie je veľmi elegantné. Ako som už spomínal, neskôr budete vidieť spôsob definície takýchto polí, kde distributívnosť vyjde "zadarmo" resp. z toho, ako bude takéto pole skonštruované.

Nejaké ďalšie poznámky
Drobnosti k veciam, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach.

Rôzne písmenká nemusia nutne znamenať rôzne hodnoty
V zadaní som nevyžadoval, aby ste aj overili, či sme naozaj dostali pole. Niektorí ste sa o to pokúsili.
Takéto veci by asi už teraz (keď sme strávili veľa času s grupami a poľami) mali byť jasné, ale aj tak napíšem, že:

• Pri overovaní nejakej vlastnosti sa pýtam, že platí pre ľubovoľné prvky z $F$; nestačí si to vyskúšať pre jednu konkrétnu voľbu.
• Ak sú v nejakej rovnosti označené prvky rôznymi premennými $x$, $y$, $z$; zahŕňa to aj prípady, keď $x=y$ alebo $y=z$. Rôzne označené premenné nemusia nutne predstavovať rôzne objekty.

T.j. napríklad ak sa pýtame, či platí asociatívnosť násobenia, t.j.
$$(\forall x,y,z\in F) x\cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$$
a ideme to overovať skúšaním jednotlivých možností, tak určite nestačí prekontrolovať či to funguje pre $x=a$, $y=b$, $z=1$; a ak áno, tak hneď prehlásiť, že je to asociatívna operácia.

A ak chceme preskúšať všetky možnosti, tak to zahŕňa napríklad aj prípad $x=y=a$, $z=b$. (T.j. $x$, $y$ môžu predstavovať ten istý prvok.)