msleziak.com

Úloha 1.5 Ukážte, že v priestore $C(0,2\pi)$ všetkých spojitých funkcií so skalárnym súčinom
$$\langle f,g \rangle = \int_0^{2\pi} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t$$
sú ľubovoľné dva (navzájom rôzne) vektory z množiny $\{1, \cos nx, \sin mx; m,n\in\mathbb N\}$ na seba kolmé.
(Len aby bolo zadanie úplne jasné: Pýtam sa, či sú kolmé $1$ a $\cos nx$; $1$ a $\sin mx$; $\cos nx$ a $\cos mx$; $\cos nx$ a $\sin mx$; $\sin nx$ a $\sin mx$; a to pre ľubovoľné prirodzené čísla $m$, $n$.)

Keďže táto úloha zatiaľ nemá na fóre riešenie, skúsim, čo nepomôže hint:
Môžu byť užitočné vzorce
$$
\begin{gather}
\cos \theta \cos \varphi = {{\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi)} \over 2}\\
\sin \theta \sin \varphi = {{\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi)} \over 2}\\
\sin \theta \cos \varphi = {{\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi)} \over 2}
\end{gather}$$
(Vzorce som skopíroval z Wikipédie, ale nemalo by pre vás byť ťažké si ich odvodiť.)