msleziak.com

$\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}
\newcommand{\Zobrto}[3]{#1\colon #2\mapsto #3}
\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\abs}[1]{|#1|}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}(#2)}
\newcommand{\Obr}[2]{#1[#2]}
\newcommand{\Tra}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}
$Ak $A$ je typu $m\times\boxed{n}$ a $B$ je typu $\boxed{n}\times k$, tak súčin $C=AB$ má rozmery $m\times k$ a $$c_{ij}:=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{in}b_{nj}=\sum_{t=1}^n a_{it}b_{tj}.$$

Matica lineárneho zobrazenia $\Zobr f{R^k}{R^n}$ je matica typu $k\times n$ nad poľom $R$, ktorej $i$-ty riadok je vektor $f(\vek e_i)$, t.j. obraz $i$-teho vektora zo štandardnej bázy.

Súčin matíc a skladanie lineárnych zobrazení:
$$M_{g\circ f}=M_f \cdot M_g$$
Obraz vektora a súčin:
$$f(\vec x)=\vec x\cdot M_f$$

Lineárne zobrazenia

1. Nech $V$ a $W$ sú vektorové pristory nad poľom $F$ a $\Zobr fVW$ je lineárne zobrazenie. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vek\alpha_1), \ldots, f(\vek\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory.
2. Nech $\Zobr fVW$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
   Ak $S$ je podpriestor vektorového priestoru $V$, tak $\Obr fS= \{f(\vek\alpha); \vek\alpha\in S\}$ je podpriestor vektorového priestoru $W$.
   Ak $T$ je podpriestor vektorového priestoru, tak $\Invobr fT= \{\vek\alpha\in V: f(\vek\alpha)\in T\}$ je podpriestor vektorového priestoru $V$.
3. a) Ukážte, že ak $V$ je konečnorozmerý vektorový priestor nad poľom $\Q$, tak $V$ je spočítateľná množina. (Táto úloha sa dá riešiť, ak už z iných predmetov viete základné veci o spočítateľných množinách.)
   b) Ukážte, že vektorový priestor $\R$ nad poľom $\Q$ je nekonečnorozmerný.

Súčin matíc

1. Vypočítajte $A^2+2AB+B^2$, $A^2+2BA+B^2$, $A^2+AB+BA+B^2$, $(A+B)^2$, ak $A=\begin{pmatrix}
   1 & 1 \\
   0 & 1
   \end{pmatrix}
   $ $B=
   \begin{pmatrix}
   1 & 3 \\
   2 & 1
   \end{pmatrix}
   $
2. Vyrátajte $EA$ a $AE$ pre $A=\begin{pmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   1 & 0 & -1 \\
   -1 & -2 & 1
   \end{pmatrix}$ a
   a) $E=\begin{pmatrix}
   1 & 0 & 1 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}$
   b) $E=\begin{pmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 3 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}$
   c) $E=\begin{pmatrix}
   0 & 0 & 1 \\
   0 & 1 & 0 \\
   1 & 0 & 0
   \end{pmatrix}$
   d) $E=\begin{pmatrix}
   1 & 0 & -3 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}$.
   Vedeli by ste nájsť riadkovú/stĺpcovú operáciu, pomocou ktorej dostaneme z matice $A$ maticu $EA$ resp. $AE$? (Viac sa o súvise násobenia matíc a elementárnych riadkových/stĺpcových operácií môžete dozvedieť v LAG1 v časti 4.4).
3. Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $\Tra(C)=\sum\limits_{k=1}^n c_{nn}$ nazývať stopa matice $C$.
   Ukážte, že ak $A$, $B$ sú matice typu $n\times n$ nad poľom $F$, tak platia rovnosti $\Tra(A)=\Tra(A)^T$ a $\Tra(AB)=\Tra(BA)$.
   Zistite, či pre ľubovoľné matice $A$, $B$, $C$ typu $n\times n$ platia vzťahy $\Tra(ABC)=\Tra(CBA)$ a $\Tra(ABC)=\Tra(ACB)$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
   Ak niektorý z týchto vzťahov neplatí, bude platiť za dodatočného predpokladu, matica $A$ je symetrická?
4. Nech $C=AB$, kde $A$, $B$ sú matice. Musí potom platiť $S_C\subseteq S_A$? Musí platiť $S_C\subseteq S_B$? Musí platiť $S_A\subseteq S_C$, $S_B\subseteq S_C$? (Pripomeňme, že $S_A$ je podpriestor generovaný riadkami matice $A$.)
5. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(A)$. Dokážte, že ak $n=k$ a $B$ je regulárna, tak $h(AB)=h(A)$.
6. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(B)$. Dokážte, že ak $m=n$ a $A$ je regulárna, tak $h(AB)=h(B)$.
7. Nech $A,B\in M_{m,n}(F)$. Dokážte: Matice $A$, $B$ sú riadkovo ekvivalentné práve vtedy, keď existuje regulárna matica $R\in M_{m,m}(F)$ taká, že $B=RA$.

Matica zobrazenia

1. Nájdite maticu lineárneho zobrazenia $\Zobr f{(\Z_7)^2}{(\Z_7)^2}$ a napíšte jeho predpis.
   a) $f(1,1)=(0,1)$, $f(6,1)=(3,2)$
   b) $f(2,3)=(1,0)$, $f(3,2)=(6,1)$
2. Nájdite maticu lineárneho zobrazenia $\Zobr f{\R^3}{\R^4}$, pre ktoré platí:
   a) $f(2,0,3)=(1,2,-1,1)$, $f(4,1,5)=(4,5,-2,1)$, $f(3,1,2)=(1,-1,1,-1)$,
   b) $f(2,0,3)=(1,2,-1,1)$, $f(4,1,5)=(4,5,-2,1)$, $f(2,-1,4)=(-1,1,-1,2)$,
   c) $f(2,0,3)=(1,2,-1,1)$, $f(4,1,5)=(4,5,-2,1)$, $f(2,-1,4)=(1,-1,1,-1)$.
3. Nájdite maticu lineárneho zobrazenia $\Zobr f{\R^4}{\R^4}$ takého, že:
   a) $f(1,2,3,3)=(0,0,0,0)$, $f(1,1,3,2)=(1,0,3,1)$, $f(1,1,2,0)=(2,0,1,0)$, $f(1,0,3,1)=(2,1,3,1)$
   b) $f(1,2,3,4)=(-1,-1,4,1)$, $f(1,1,3,2)=(1,0,3,1)$, $f(1,1,2,0)=(2,0,1,0)$, $f(1,0,3,1)=(2,1,3,1)$
   c) $f(0,1,1,1)=(1,0,0,0)$, $f(1,0,1,1)=(0,1,0,0)$, $f(1,1,0,1)=(0,0,1,0)$, $f(1,1,1,0)=(0,0,0,1)$
4. Koľko existuje lineárnych zobrazení spĺňajúcich zadané podmienky? Koľko z nich je injektívnych? Koľko je surjektívnych?
   a) $\Zobr f{\Z_5^3}{\Z_5^4}$, $f(1,3,1)=(1,1,1,3)$, $f(2,1,3)=(0,1,3,4)$, $f(2,1,0)=(1,4,0,0)$;
   b) $\Zobr f{\Z_5^4}{\Z_5^3}$, $f(1,0,3,1)=(0,1,3)$, $f(2,1,3,1)=(1,1,3)$, $f(1,1,4,1)=(2,2,1)$;
   c) $\Zobr f{\Z_5^4}{\Z_5^3}$, $f(1,0,3,1)=(0,1,3)$, $f(2,1,3,1)=(1,1,3)$, $f(1,1,0,0)=(1,0,0)$;

Jadro a obraz

1. Nájdite bázu obrazu a bázu jadra lineárneho zobrazenia $\Zobr f{(\Z_5)^4}{(\Z_5)^4}$ s danou maticou. V ktorých prípadoch je toto zobrazenie surjektívne a v ktorých injektívne?
   $\begin{pmatrix}
   3 & 1 & 2 & 2 \\
   4 & 3 & 2 & 1 \\
   0 & 1 & 2 & 4 \\
   2 & 0 & 1 & 2
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   2 & 4 & 1 & 1 \\
   3 & 3 & 3 & 2 \\
   1 & 4 & 2 & 1 \\
   4 & 2 & 0 & 3
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   2 & 3 & 1 & 4 \\
   4 & 3 & 2 & 1 \\
   3 & 4 & 1 & 2
   \end{pmatrix}
   $
2. Nájdite bázu a dimenziu $\Ker f$ aj $\Ima f$ pre dané lineárne zobrazenie. Rozhodnite, či toto zobrazenie je injektívne, surjektívne, bijektívne.
   a) $\Zobr f{\R^4}{\R^3}$, $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2+x_3+x_4,2x_2+x_3+x_4,4x_2+2x_3+2x_4)$.
   b) $\Zobr f{M_{2,2}(\R)}{M_{2,2}(\R)}$, $\Zobrto f{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a+b&b+c\\c+d&d+a\end{pmatrix}}$
   c) $\Zobr fVV$, kde $V=\{ax^2+bx+c; a,b,c\in\R\}$ je podpriestor $\R^{\R}$ a $\Zobrto f{p(x)}{p'(x)}$. (T.j. $f$ priradí polynómu $p(x)$ jeho deriváciu.)
3. Definujme lineárne zobrazenie $f \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^2$ ako $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4, 2x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4)$ a označme $U_1=\Ker f$.
   Ďalej definujme lineárne zobrazenie $g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^4$ ako $g(y_1, y_2) = (y_1 - y_2, y_1 - 3y_2, 2y_1 - 8y_2, 3y_1 - 27y_2)$ a označme $U_2=\Ima g$.
   Vidíme, že $U_1$ aj $U_2$ sú podpriestory $\mathbb R^4$.
   Nájdite bázy priestorov $U_1$, $U_2$, ${U_1 \cap U_2}$ a $U_1 + U_2$.
4. Nech $\Zobr fVV$ je lineárne zobrazenie. Ako $f^2$ budeme označovať $f\circ f$. Dokážte
   a) $\Ker f^2 \supseteq \Ker f$,
   b) $\Ima f^2 \subseteq \Ima f$,
   c) $f^2=0$ $\Leftrightarrow$ $\Ker f\supseteq \Ima f$.
5. Nájdite $\Ker T_A$, $\Ima T_A$, kde $\Zobr{T_A}{M_{2,2}(\R)}{M_{2,2}(\R)}$ je dané predpisom $$T_A(X)=AX-XA$$ pre $A=
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 \\
   0 & 3 \\
   \end{pmatrix}$, t.j.,
   $$T_A(X)=\begin{pmatrix}
   1 & 2 \\
   0 & 3 \\
   \end{pmatrix}X-X\begin{pmatrix}
   1 & 2 \\
   0 & 3 \\
   \end{pmatrix}.$$
6. Nech $A$ je ľubovoľná matica typu $n\times n$ nad poľom $F$. Označme $T_A(X)=AX-XA$.
   a) Ukážte, že $\Zobr{T_A}{M_{n,n}(F)}{M_{n,n}(F)}$ je lineárne zobrazenie.
   b) Je $T_A$ injektívne?
   c) Je $T_A$ surjektívne?

Inverzná matica

1. Nájdite inverznú maticu k daným maticiam nad $\R$:
   $\begin{pmatrix}
   2 & 3 & 1 \\
   4 & 3 & 3 \\
   1 & 2 & 1
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 3 & 1 \\
   2 & 4 & 3 \\
   3 & 1 & 2
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   0 & 3 & 1 \\
   2 & 0 & 3 \\
   1 & 1 & 2
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1 \\
   0 & 3 & 2 \\
   1 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 1 \\
   0 & 1 & 1 \\
   2 & -1 & 3
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   3 & 2 & 1 \\
   4 & 2 & 1 \\
   1 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
   1 & \sqrt2 & \sqrt6 \\
   0 & 1 & \sqrt3 \\
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $
   Výsledky:
   $
   \begin{pmatrix}
   \frac34 & \frac14 & -\frac32 \\
   \frac14 & -\frac14 & \frac12 \\
   -\frac54 & \frac14 & \frac32
   \end{pmatrix}$ $
   \begin{pmatrix}
   \frac12 & -\frac12 & \frac12 \\
   \frac12 & -\frac1{10} & -\frac1{10} \\
   -1 & \frac45 & -\frac15
   \end{pmatrix}$ $
   \begin{pmatrix}
   3 & 5 &-9 \\
   1 & 1 &-2 \\
   -2&-3 & 6
   \end{pmatrix}$ $
   \begin{pmatrix}
   \frac12 & 0 & -\frac12 \\
   \frac13 & \frac1{3} & -1 \\
   -\frac12& 0 & \frac32
   \end{pmatrix}$ $
   \begin{pmatrix}
   2 & -\frac12 &-\frac12 \\
   1 & \frac12 &-\frac12 \\
   -1& \frac12 & \frac12
   \end{pmatrix}$ $
   \begin{pmatrix}
   -1& 1 & 0 \\
   \frac32 &-1 &-\frac12 \\
   1 &-1 &-1
   \end{pmatrix}$ $
   \begin{pmatrix}
   1 & -\sqrt2 & 0 \\
   0 & 1 & -\sqrt3 \\
   0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $
2. Zistite, či je zadaná matica nad poľom $\mathbb Z_5$ regulárna; ak áno, nájdite inverznú:
   $\begin{pmatrix}
   3 & 1 & 1 & 3 \\
   1 & 4 & 0 & 1 \\
   2 & 1 & 1 & 4 \\
   3 & 2 & 2 & 1 \\
   \end{pmatrix}
   $, $\begin{pmatrix}
   2 & 1 & 3 & 1 \\
   0 & 1 & 3 & 4 \\
   3 & 1 & 2 & 1 \\
   1 & 1 & 4 & 2 \\
   \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
   2 & 1 & 3 & 1 \\
   1 & 2 & 4 & 3 \\
   3 & 1 & 2 & 3 \\
   1 & 3 & 1 & 3 \\
   \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
   2 & 1 & 3 & 1 \\
   1 & 2 & 3 & 3 \\
   3 & 1 & 4 & 3 \\
   1 & 3 & 2 & 4 \\
   \end{pmatrix}$,
   Výsledky:
   $\begin{pmatrix}
   4 & 0 & 0 & 3 \\
   2 & 4 & 1 & 1 \\
   3 & 1 & 1 & 1 \\
   3 & 0 & 1 & 3 \\
   \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
   0 & 2 & 4 & 4 \\
   0 & 0 & 2 & 4 \\
   1 & 2 & 3 & 4 \\
   3 & 0 & 1 & 1
   \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
   0 & 4 & 3 & 3 \\
   3 & 4 & 0 & 0 \\
   1 & 0 & 0 & 3 \\
   0 & 3 & 4 & 0 \\
   \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
   0 & 0 & 1 & 3 \\
   4 & 0 & 3 & 3 \\
   4 & 4 & 2 & 2 \\
   0 & 3 & 4 & 0 \\
   \end{pmatrix}$
3. Nech $\Zobr f{(\Z_5)^4}{(\Z_5)^4}$ je lineárne zobrazenie také, že $f(1,2,3,1)=(2,0,1,0)$, $f(0,2,3,1)=(1,2,0,3)$, $f(1,0,3,4)=(3,2,1,0)$, $f(4,1,3,2)=(2,3,1,1)$. Nájdite maticu zobrazenia $\inv f$.
4. Zistite, či $
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 \\
   1 & 0 & 1 \\
   0 & 1 & 1
   \end{pmatrix}
   $ je regulárna a) nad $\Z_2$ b) nad $\Z_3$, ak áno, nájdite
   inverznú.
5. Zistite pre aké hodnoty parametra $a\in\mathbb R$ existuje $A^{-1}$. Pre tieto hodnoty aj vyjadrite, čomu sa $A^{-1}$ rovná.
   $$A=
   \begin{pmatrix}
   a & 1 & 1 & 1 \\
   1 & a & 1 & 1 \\
   1 & 1 & a & 1 \\
   1 & 1 & 1 & a
   \end{pmatrix}
   $$
6. Vypočítajte $\inv AB$ a $\inv BA$. Skúste to urobiť bez výpočtu $\inv A$ resp. $\inv B$.
   $A=
   \begin{pmatrix}
   0 & 3 & 1 \\
   2 & 0 & 3 \\
   1 & 1 & 2
   \end{pmatrix}$
   $B=
   \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 1 \\
   0 & 1 & -1 \\
   0 & -1 & 2
   \end{pmatrix}$
   Ako skúšku správnosti môžete vyskúšať, či po vynásobení výsledku zľava maticou $A$ (resp. $B$) dostanete maticu $B$ resp. $A$).
7. Zistite, či pre dané matice $A$, $B$ nad poľom $\Z_5$ existuje matica $X$ nad tým istým poľom taká, že $AX=B$. Zistite, či je $X$ maticami $A$, $B$ jednoznačne určená. Ak taká matica existuje, tak aspoň jednu takú maticu nájdite.\\
   a) $A=
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 \\
   0 & 3 & 1 \\
   3 & 2 & 3
   \end{pmatrix}$, $B=
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 3 \\
   2 & 0 & 1 \\
   0 & 2 & 3
   \end{pmatrix}
   $
   b) $A=
   \begin{pmatrix}
   0 & 1 & 3 \\
   2 & 1 & 0 \\
   1 & 3 & 1
   \end{pmatrix}
   $, $B=
   \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 0 \\
   0 & 3 & 1 \\
   1 & 3 & 4
   \end{pmatrix}
   $
   c) $A=\begin{pmatrix}
   1 & 2 & 1 \\
   2 & 2 & 3 \\
   2 & 3 & 0
   \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
   0 & 3 & 3 \\
   1 & 4 & 0 \\
   3 & 0 & 3
   \end{pmatrix}$
   d) $A=\begin{pmatrix}
   1 & 2 & 0 \\
   3 & 1 & 0 \\
   1 & 4 & 4
   \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}
   0 & 4 & 2 \\
   0 & 2 & 1 \\
   4 & 1 & 3
   \end{pmatrix}$
   e) $A=
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 \\
   0 & 1 & 3 \\
   2 & 4 & 1
   \end{pmatrix}
   $, $B=
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 1 \\
   0 & 3 & 1 \\
   3 & 2 & 3
   \end{pmatrix}$
   f) $A=
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 3 \\
   0 & 1 & 1 \\
   2 & 3 & 2
   \end{pmatrix}
   $, $B=
   \begin{pmatrix}
   2 & 1 & 2 \\
   1 & 1 & 4 \\
   3 & 1 & 0
   \end{pmatrix}
   $
8. Ukážte, že ak $A$, $B$, $C$ sú štvorcové matice \tez $ABC=I$, tak matica $B$ je regulárna a platí $\inv B=CA$.
9. Ukážte, že ak $A$ je horná trojuholníková matica rozmerov $n\times n$, ktorá je regulárna, tak aj $A^{-1}$ je horná trojuholníková.
   (Pod pojmom horná trojuholníková matica sa rozumie to, že pod diagonálou sú nuly. T.j. $a_{ij}=0$ pre $i<j$.)

Opäť sústavy

1. Ukážte, že každý podpriestor $R^n$ je množina riešení nejakej sústavy lineárnych rovníc nad poľom $R$. (LAG1 - 5.2.8(1))
2. Nájdite nejakú homogénnu sústavu rovníc so 4 neznámymi nad $\mathbb R$, ktorej riešením je daný podpriestor:
   a) $S=[(1,4,0,1),(1,0,3,-3),(0,2,0,1)]$
   b) $S=[(1,-1,1,-2),(1,1,0,-1),(3,1,1,-4)]$
3. Pre dané podpriestory $S$, $T$ priestoru $V$ nájdite bázu a dimenziu $S\cap T$. Viete zistiť aj čomu sa rovná dimenzia $S+T$?
   a) $S=[(2,0,3,1),(1,-1,0,0)]$, $T=[(1,-1,-1,0),(0,2,4,1)]$ vo $V=\mathbb R^4$
   b) $S=[(1,0,1,-2),(1,1,-1,3)]$, $T=[(1,2,0,1),(2,3,1,1),(2,-1,-1,1)]$ vo $V=\mathbb R^4$
   c) $S=[(1,1,1,1,0),(2,1,0,3,-2),(1,0,1,0,0)]$ a $T=[(1,1,0,0,3),(1,0,1,1,1),(0,1,1,-1,0)]$ vo $V=\mathbb R^5$
   Výsledky: a) $\dim(S)=\dim(T)=2$, $\dim(S\cap T)=1$, $\dim(S+T)=3$; b) $\dim(S)=2$, $\dim(T)=3$, $\dim(S\cap T)=1$, $\dim(S+T)=4$; c) $\dim(S)=3$, $\dim(T)=3$, $\dim(S\cap T)=1$, $\dim(S+T)=5$