Počet všetkých/injektívnych/surjektívnych lineárnych zobrazení

[Martin Sleziak]

Nájdite počet$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$
a) všetkých
b) injektívnych
c) surjektívnych
lineárnych zobrazení $\Zobr f{\Z_5^4}{\Z_5^3}$ takých, že platí
\begin{align*}
f(2,1,0,1)&=(1,1,3)\\
f(1,3,2,1)&=(2,1,2)\\
f(4,2,1,1)&=(4,1,0)
\end{align*}

Máme teda zadané $f(\vec a_i)=\vec b_i$ pre $i=1,2,3$.
Pretože definičný obor je priestor dimenzie štyri, je jasné, že zobrazenie tromi vektormi nemôže byť jednoznačne určené. Navyše sa ešte môže stať aj to, že zadané vektory sú lineárne závislé.

Len tak na okraj poznamenám, že sa dalo v podstate aj zbadať to, že vektory na pravej strane sú lineárne závislé.

Spoiler:

Ak si všimnem, že všetky tri vektory vyhovujú rovnici $x_1+x_2+x_3=0$, tak mám tri vektory v podpriestore, ktorý má dimenziu nanajvýš dva.

Dokonca aj nájsť koeficienty také, že $\vec b_3=c_1\vec b_1+c_2\vec b_2$ by sa dalo v podstate "z hlavy" - bez nejakého veľkého počítania.

Spoiler:

Vektor $\vec b_1$ má prvé dve súradnice rovnaké. To isté platí aj pre každý jeho násobok.
Pre vektor $\vec b_2$ je rozdiel prvej a druhej súradnice rovný jedna, t.j. tento vektor vyhovuje rovnici $x_1-x_2=1$. (A teda pre jeho $c$-násobok bude tento rozdiel rovný $c$.)

Pre súradnice vektora $\vec b_3$ platí $x_1-x_2=3$.
Ak chceme takýto vektor dostať v tvare $\vec b_3=c_1\vec b_1+c_2\vec b_2$, tak jediná možnosť je $c_2=3$.
Ak sa pozrieme na to ako vyzerá vektor $3\vec b_2$, tak už vieme dopočítať $c_1=3$.

Môžete si naozaj skontrolovať, že platí:
$$\vec b_3=3\vec b_1+3\vec b_2=3(\vec b_1+\vec b_2).$$

Ak za pozrieme na vektory na ľavej strane, tak tie tiež spĺňajú
$$\vec a_3=3\vec a_1+3\vec a_2=3(\vec a_1+\vec a_2).$$
(Ak by sme pre vektory $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3$ dostali iné koeficienty ako pre $\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3$, tak lineárne zobrazenie spĺňajúce uvedené podmienky neexistuje.)

Samozrejme, všetko čo sme spomenuli vyššie vieme vypočítať aj pomocou sústav rovníc - bez akéhokoľvek hádania.
A takisto môžeme postupovať štandardným spôsobom, ktorý sme sa naučili pri hľadaní matice lineárneho zobrazenia.
$$\left(\begin{array}{cccc|ccc}
2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
4 & 2 & 1 & 1 & 4 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|ccc}
1 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 4 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|ccc}
2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
4 & 2 & 1 & 1 & 4 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|ccc}
1 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
4 & 2 & 1 & 1 & 4 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|ccc}
1 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 2 & 3 & 4 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 4 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|ccc}
1 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 4 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 4 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|ccc}
1 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 4 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$

Každopádne sme zistili, že vlastne máme zadané dva lineárne nezávislé vektory a ich obrazy.
\begin{align*}
f(\vec a_1)&=\vec b_1\\
f(\vec a_2)&=\vec b_2
\end{align*}
Vektory $\vec a_1,\vec a_2$ sa dajú doplniť na bázu napríklad vektormi $\vec e_2=(0,0,1,0)$, $\vec e_4=(0,0,0,1)$.
Obrazy vektorov $\vec a_1$, $\vec a_2$ máme zadané. Ale obrazy vektorov $\vec e_2$, $\vec e_4$ si môžeme zvoliť ľubovoľne.
Pre každý z nich mám $5^3$ možností. Spolu dostaneme, že existuje $(5^3)^2=5^6$ všetkých lineárnych zobrazení vyhovujúcich uvedeným podmienkam.

Chceme sa ešte pozrieť na to, koľko z nich je injektívnych a koľko surjektívnych.
Rovno vieme povedať, že injektívne lineárne zobrazenie nebude ani jedno - dimenzia oboru je vyššia ako dimenzia kooboru.

Surjektínosť. Chceme, aby obrazy bázových vektorov vygenerovali celý priestor $(\Z_5)^3$.
Teda nesmieme zvoliť $f(\vec e_2)$, $f(\vec e_4)$ tak, aby oba z nich ležali v $[\vec b_1,\vec b_2]$. (Ak by boli v tomto priestore, tak vygenerujú iba dvojrozmerný podpriestor. Ak aspoň jeden leží mimo, tak už vygenerujú trojzrozmerný podpriestor - a teda celé $(\Z_5)^3$.)

Lineárnych kombinácií tvaru $c_1\vec b_1+c_2\vec b_2$ mám toľko, koľko je možností pre $c_1$ a $c_2$, teda $5^2$. (Tu využívame, že $\vec b_1$, $\vec b_2$ sú lineárne nezávislé.)
A teda máme $(5^2)^2=5^4$ "zakázaných" dvojíc.
Zostalo nám teda $5^6-5^4$ surjektívnych lineárnych zobrazení, ktoré spĺňajú podmienky zo zadania.