Riešenie úlohy 2.2: Ortonormálna báza

[laco.papay]

Úloha 2.2. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(2,1,1,3),(0,1,-1,1),(1,0,1,1)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Najprv si zjednoduchšíme bázu $S$ aby sa lepšie počítalo:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

Vyšiel nam nulový riadkok, hodnosť matice je teda $2$. Označme $\vec\alpha_1 = (1, 0, 1, 1),~ \vec\alpha_2 = (0, 1, -1, 1)$. Použijeme Gram-Schmidtov proces:

$ \vec\beta_1 = \vec\alpha_1 = (1, 0, 1, 1) $
$ \vec\beta_2 = \vec\alpha_2 + c\vec\beta_1 $

$$
c = -\frac{\langle\vec\alpha_2,\vec\beta_1\rangle}{\langle\vec\beta_1,\vec\beta_1\rangle} = -\frac{0}{3} = 0
$$

$ \vec\beta_2 = \vec\alpha_2 = (0, 1, -1, 1) $

Teda $\vec\alpha_1$ a $\vec\alpha_2$ už boli na seba kolmé (dalo sa všimnúť pred týmto krokom a vynechať ho...)

Ešte musíme normalizovať:

$$ \vec\gamma_1 = \frac{\vec\beta_1}{|\vec\beta_1|} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 0, 1, 1) = \frac{\sqrt{3}}{3}(1,0,1,1) $$
$$ \vec\gamma_2 = \frac{\vec\beta_2}{|\vec\beta_2|} = \frac{1}{\sqrt{3}}(0, 1, -1, 1) = \frac{\sqrt{3}}{3}(0,1,-1,1) $$

[Martin Sleziak]

Úloha je vyriešená správne, značím si 1 bod.

Teda $\vec\alpha_1$ a $\vec\alpha_2$ už boli na seba kolmé (dalo sa všimnúť pred týmto krokom a vynechať ho...)

Presne tak. Oplatí sa všímať si takéto veci - máme možnosť ušetriť si robotu.