Riešenie úlohy 2.1: báza a dimenzia $S^\bot$

[korbas4]

Úloha 2.1. Nájdite bázu a dimenziu $S^\bot$ pre S=[(1,2,3,1),(1,1,1,1),(1,2,3,2)]. (Pracujeme v R4 so štandardným skalárnym súčinom.)

Aby sme zistili bázu a dimenziu samotného $S$, tak upravíme maticu jeho generujúcich vektorov do redukovaného trojuholníkového tvaru:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 &2 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end {pmatrix}$

Z daného tvaru matice vidno, že všetky 3 riadky su lineárne nezávislé, čiže jej hodnosť je 3. Z toho vyplýva, že $d(S)=3$, teda $d(S^\bot)=1$. Teraz ideme nájsť bázu $S^\bot$ - dostaneme ju z tejto sústavy rovníc (v ktorej budeme hľadať vektor kolmý na tie bázové z $S$ a tým pádom aj na ich lineárne kombinácie, čiže jeho skalárny súčin s nimi má byť 0):

$x_1 - x_3 = 0$
$x_2 + 2x_3 = 0$
$x_4 = 0$

z toho dostávame:

$x_1 = x_3$
$x_2 = -2x_3$

teda riešenia budú nasledovného tvaru: $(-x_3,-2x_3,x_3,0) = x_3(1,-2,1,0)$. Takže báza $S^\bot$ je napr. $(1,-2,1,0)$, čiže $S^\bot=[(1,-2,1,0)]$.

[Martin Sleziak]

teda riešenia budú nasledovného tvaru: $(-x_3,-2x_3,x_3,0) = x_3(1,-2,1,0)$. Takže báza $S^\bot$ je napr. $(1,-2,1,0)$, čiže $S^\bot=[(1,-2,1,0)]$.

Ešte pripomeniem, že môžeme ľahko skontrolovať, že vektor $(1,-2,1,0)$ je skutočne kolmý na vektory, ktorý generujú priestor $S$.
Takisto si môžeme všimnúť, že $d(S)+d(S^\bot)=4$, čo súhlasí s tým, že $S\oplus S^\bot=\mathbb R^4$, ako sme sa dozvedeli na prednáške.

Riešenie je správne, značím si 1 bod.