Odpoveď je kladná. Aj pre nekonečnorozmené vektorové priestory vieme zmysluplne hovoriť o báze a dimenzii.
Samozrejme, vec ktorá sa v takomto prípade zmení, je to, že dimenzia už nebude nejaké konečné prirodzené číslo ale bude to kardinálne číslo. (Takže ak sa niekto chce trochu zamyslieť nad niečím takýmto, asi sa hodí vedieť nejaké základné veci o kardinalite.)
Pre bázu v nekonečnorozmerných vektorových priestoroch sa často používa názov Hamelova báza - na odlíšenie od iných typov báz, ktoré sa vyskytujú v analýze - ako napríklad ortonormálna báza alebo Schauderova báza.
Ak už poznáte tento názov, tak sa vám asi podarí nájsť niečo o tomto pojme na rôznych miestach.
- Napríklad na Wikipédii. Nájdete aj veľa ďalších zdrojov online aj v rôznych knihách.
- Je o tomto nejaká stručná poznámka na konci časti o báze a dimenzii v texte k predmetu Algebra (1).
- Niečo je aj v texte k predmetu Aplikácie teórie množín - tento predmet sa síce venuje viacerým veciam, ktoré sú pokročilejšie; ale to ako vyzerá definícia Hamelovej bázy a aké má vlastnosti sa asi dá čítať aj s prváckymi vedomosťami. (V súčasnej verzii sú to Definícia 4.3.19 a Problém 4.3.1.)
Otázka, ktorá nás tu zaujíma je - dá sa rozumne zadefinovať pojem bázy aj pre nekonečnorozmerné priestory.
V konečnorozmernom priestore báza bola vlastne tvorená vektormi takými, že každý vektor $\vec x\in V$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako
$$\vec x=c_1\vec x_1+c_2\vec x_2+\dots+c_n\vec x_n = \sum_{i=1}^n c_i\vec x_i.$$
Možno by sa človeku zdalo ako prirodzené či nemôžeme túto vec zovšeobecniť takým smerom, že by sme sa pozerali na vyjadrenie nejakých vektorov v tvare
$$\vec x\overset{???}=\sum_{i=1}^\infty c_i\vec x_i.$$
Vec, ktorú si je na tomto mieste dôležité uvedomiť, je že takéto niečo urobiť nevieme, ak máme k dispozícii iba vektorový priestor.
Vo vektorovom priestore vieme definovať lineárnu kombináciu konečne veľa vektorov - ale nemáme tam rozumný spôsob ako by sme definovali súčet nekonečne veľa vektorov. (Samozrejme, sú konkrétne vektorové priestory, v ktorých máme nejaký prirodzený typ konvergencie a mohli by sme teda nejako definovať aj nekonečnú sumu a pýtať sa na takýto typ bázy. A takéto veci sú v niektorých kontextoch užitočné. Takéto niečo ale nechajme skôr na matematickú analýzu. Na tomto mieste nás zaujíma, či niečo vieme urobiť v každom vektorovom priestore.)
Takže vlastne keď budeme chcieť zadefinovať, čo to znamená, že $B$ je báza vektorového priestoru $V$, tak to bude taká podmnožina $B\subseteq V$, že každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácie konečne veľa vektorov z $B$.
Definícia. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$. Nech $B\subseteq V$.
- Ak pre každý vektor $\vec x\in V$ existujú $\vec b_1,\dots,\vec b_n\in B$ a $c_1,\dots,c_n\in F$ také, že $\vec x=c_1\vec b_1+\dots+c_n\vec b_n$, tak hovoríme, že $B$ generuje priestor $V$.
- Ak pre ľubovoľné $b_1,\dots,b_n\in B$ z rovnosti $c_1\vec b_1+\dots+c_n\vec b_n=\vec 0$ vyplýva $c_1=\dots=c_n=0$, tak hovoríme, že množina $B$ je lineárne nezávíslá.
- Ak $B$ je lineárne nezávislá podmnožina $V$, ktorá generuje $V$, tak hovoríme, že $B$ je báza priestoru $V$.
Jednoduchý príklad
Môže sa oplatiť pozrieť na nejaký čo najmenší príklad - pozrieme sa na príklad priestoru, kde báza má kardinality $\aleph_0$. (T.j. na najmenší možný nekonečný príklad.)
Budeme pracovať s priestorom $V$ pozostávajúcim z takých reálnych postupností, ktoré sú od istého miesta nulové. (Malo by byť jednoduché cvičenie overiť, že toto je naozaj vektorový priestor.)
Ak si zoberieme postupnosti
\begin{align*}
e^{(1)}&=(1,0,0,0,\dots,)\\
e^{(2)}&=(0,1,0,0,\dots,)\\
e^{(3)}&=(0,0,1,0,\dots,)\\
&\vdots
\end{align*}
t.j. postupnosť $e^{(n)}$ má na $n$-tej pozícii jednotku a všade inde nuly, tak dostaneme bázu bázu tohto priestoru.
Existencia bázy
Dá sa dokázať, že každý vektorový priestor má bázu.
Typicky sa to dokazuje s použitím Zornovej lemy, ktorá súvisí s axiómou výberu.
Veci ako Zornova lema a axióma výberu sú o čosi náročnejšie - nie sú to úplne témy, ktoré by boli porovnateľné s tým, čo preberáme na začiatku prvého ročníka.
Vlastnosti bázy
Niektoré veci, ktoré sme ukázali pre konečnorozmerné priestory platia aj tu. Niektoré už v nekonečnorozmerných priestoroch neplatia. (To je do istej miery očakávateľné - tak ako ste videli nejaké rozdiely medzi konečnými a nekonečnými množinami.)
Napríklad ak pripustíme aj nekonečnú dimenziu, tak vektorový priestor môže mať vlastný podpriestor, ktorý má rovnakú dimenziu ako celý priestor. (Podobne ako nekonečná množina môže mať vlastnú podmnožinu s rovnakou kardinalitou.)
Aj pre nekonečnorozmerné priestory však stále platí:
- Každý priestor má bázu. (Toto sme už spomenuli.)
- Každá lineárne nezávislá množina je obsiahnutá v nejakej báze.
- Ľubovoľné dve bázy majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu voláme dimenziou vektorového priestoru.
- Obrazy bázových vektorov jednoznačne určujú lineárne zobrazenie.
- Dva vektorové priestory (nad rovnakým poľom) sú izomorfné $\Leftrightarrow$ majú rovnakú dimenziu.