Axióma výberu vs. výber (označenie) jedného konkrétneho prvku
Posted: Thu Feb 23, 2023 3:31 pm
Napíšem sem niečo k veci, ktorá sa v súvislosti s axiómou výberu núka ako veľmi prirodzená otázka.
V dôkazoch často povieme niečo také, že máme nejakú množinu a z nej si vyberieme nejaký jeden prvok a niečo s ním robíme. Používame na tomto mieste axiómu výberu?
Aby som tu mal konkrétny príklad nejakého tvrdenia a dôkazu, tak si vezmem niečo také, že keď mám iba jednu neprázdnu množinu, tak budeme mať aj výberovú množinu.
Tvrdenie. Nech $A\ne\emptyset$. Potom existuje množina $V$ taká, že prienik $V\cap A$ je jednoprvkový.
Dôkaz. Pretože $A\ne\emptyset$, existuje aspoň jeden prvok patriaci do $A$. Označme si nejaký takýto prvok ako $x_0$. Ak položíme $V=\{x_0\}$, tak prienik $V\cap A=\{x_0\}$ je jednoprvkový. $\square$
Je to veľmi naivné a jednoduché tvrdenie - ale tu ho používame iba na ilustráciu; chceme si hlavne rozmyslieť, či sme niekde použili AC alebo nie.
A naozaj by to mohlo trochu pôsobiť dojmom, že sme axiómu výberu použili - pretože sme si vybrali jeden prvok $x_0\in A$ a potom s ním niečo robili.
V skutočnosti však axiómu výberu nijako nepoužívame. Iba sme si nejakou premennou označili jeden prvok z $A$ (ktorýkoľvek prvok tejto množiny). A pomocou neho sme vedeli dostať množinu $V$ s požadovanými vlastnosťami.
Pokojne sme tento dôkaz mohli zapísať tak, že by sme ukázali
$$(\forall x) (x\in A \Rightarrow (\exists V) |V\cap A|=1)$$
a spolu s tým, že platí výrok $(\exists x) x\in A$ potom dostávame $(\exists V)|V\cap A|=1$.
Formálnejšie sa na to môžeme pozerať tak, že sme použili jedno z pravidiel výrokovej logiky, ktoré nám povoľuje pre ľubovoľný výrok $\varphi(x)$ o ktorom vieme, že platí $(\exists x)\varphi(x)$ zaviesť nejakú novú konštantu $c$ takú, že platí $\varphi(c)$. Wikipédia: Existential instantiation
Možno rozumný pohľad na rozlíšenie týchto vecí je aj ten, že je rozdiel, či sme si "vybrali" (označili) jeden prvok - alebo či takýchto výberov robíme naraz nekonečne veľa.
Môžete sa skúsiť zamyslieť aj nad tým, či by ste matematickou indukciou vedeli zdôvodniť axiómu výberu pre konečné systémy. (T.j. ak $\mathcal S$ je konečný systém neprázdnych a po dvoch disjunktných množín, tak existuje množina $V$ taká, že prienik $V\cap S$ je jednoprvkový pre všetky $S\in\mathcal S$.)
Pridám aj nejaké linky:
V dôkazoch často povieme niečo také, že máme nejakú množinu a z nej si vyberieme nejaký jeden prvok a niečo s ním robíme. Používame na tomto mieste axiómu výberu?
Aby som tu mal konkrétny príklad nejakého tvrdenia a dôkazu, tak si vezmem niečo také, že keď mám iba jednu neprázdnu množinu, tak budeme mať aj výberovú množinu.
Tvrdenie. Nech $A\ne\emptyset$. Potom existuje množina $V$ taká, že prienik $V\cap A$ je jednoprvkový.
Dôkaz. Pretože $A\ne\emptyset$, existuje aspoň jeden prvok patriaci do $A$. Označme si nejaký takýto prvok ako $x_0$. Ak položíme $V=\{x_0\}$, tak prienik $V\cap A=\{x_0\}$ je jednoprvkový. $\square$
Je to veľmi naivné a jednoduché tvrdenie - ale tu ho používame iba na ilustráciu; chceme si hlavne rozmyslieť, či sme niekde použili AC alebo nie.
A naozaj by to mohlo trochu pôsobiť dojmom, že sme axiómu výberu použili - pretože sme si vybrali jeden prvok $x_0\in A$ a potom s ním niečo robili.
V skutočnosti však axiómu výberu nijako nepoužívame. Iba sme si nejakou premennou označili jeden prvok z $A$ (ktorýkoľvek prvok tejto množiny). A pomocou neho sme vedeli dostať množinu $V$ s požadovanými vlastnosťami.
Pokojne sme tento dôkaz mohli zapísať tak, že by sme ukázali
$$(\forall x) (x\in A \Rightarrow (\exists V) |V\cap A|=1)$$
a spolu s tým, že platí výrok $(\exists x) x\in A$ potom dostávame $(\exists V)|V\cap A|=1$.
Formálnejšie sa na to môžeme pozerať tak, že sme použili jedno z pravidiel výrokovej logiky, ktoré nám povoľuje pre ľubovoľný výrok $\varphi(x)$ o ktorom vieme, že platí $(\exists x)\varphi(x)$ zaviesť nejakú novú konštantu $c$ takú, že platí $\varphi(c)$. Wikipédia: Existential instantiation
Možno rozumný pohľad na rozlíšenie týchto vecí je aj ten, že je rozdiel, či sme si "vybrali" (označili) jeden prvok - alebo či takýchto výberov robíme naraz nekonečne veľa.
Môžete sa skúsiť zamyslieť aj nad tým, či by ste matematickou indukciou vedeli zdôvodniť axiómu výberu pre konečné systémy. (T.j. ak $\mathcal S$ je konečný systém neprázdnych a po dvoch disjunktných množín, tak existuje množina $V$ taká, že prienik $V\cap S$ je jednoprvkový pre všetky $S\in\mathcal S$.)
Pridám aj nejaké linky:
- Axiom of choice § Restriction to finite sets (Math Stack Exchange)
- Do We Need the Axiom of Choice for Finite Sets? (Math Stack Exchange)
- Why is the Axiom of Choice not needed when the collection of sets is finite? (Math Stack Exchange)
- Does 'let x be a member of S...' require axiom of choice? (Math Stack Exchange)
- If I say "let $x_0$ be a point of global maximum...", am I using axiom of choice? (Math Stack Exchange)