Tento topic som teda otvoril ani nie preto, že by bolo treba pridať ešte jeden riešený príklad - skôr preto, nech môžem napísať nejaké komentáre k veciam, ktoré sa vyskytli v odovzdaných riešeniach.
K časti o vektoroch takých, že $\vec xP=-\vec x$ sa niečo dá pozrieť tu: viewtopic.php?t=1657
(Dalo sa to samozrejme riešiť aj tak, že riešim homogénnu sústavu určenú podmienkou $\vec x(I+P)=\vec 0$ pre maticu, ktorú som vypočítal v prvej časti úlohy. Ale nie je príliš ťažké prísť na to, že všeobecne - pre ľubovoľnú maticu ortogonálnej projekcie - bude mať takáto rovnica iba nulové riešenie.)
Pre daný podpriestor $S$ v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom:
a) Nájdite maticu $P$ ortogonálnej projekcie na $S$.
b) Nájdite všetky vektory $\vec x\in\mathbb R^4$ také, že $\vec xP=-\vec x$.
(Uveďte aj postup resp. zdôvodnenie, ktorým ste sa dostali k~výsledku.)
$$S=[(1,0,2,2),(1,2,0,-2),(2,1,3,2)]$$
Jedna možnosť je nájsť bázu pre $S^\bot$ a hľadať maticu $P$ ako maticu lineárneho zobrazenia. (Vieme, že $\vec xP=\vec x$ ak $\vec x\in S$. A tiež to, že $\vec xP=\vec 0$ ak $\vec x\in S^\bot$.
Alebo môžeme skúsiť nájsť nejakú ortonormálnu bázu - k tomu ako nájsť ONB tu nebudem písať detaily.
Potom maticu projekcie vypočítame ako $\vec u_1^T\vec u_1+\vec u_2^T\vec u_2$.
Dokonca sa dalo zbadať, že dva zo zadaných vektorov sú na seba kolmé a dostať sa tak k ortonormálnej báze:
\begin{align*}
\vec u_1&=\frac1{\sqrt9}(1,2,0,-2)\\
\vec u_2&=\frac1{\sqrt{18}}(2,1,3,2)
\end{align*}
Skúška:
Pripomeniem, že veci, ktoré vieme vyskúšať vcelku rýchlo sú:
* Pozrieť sa, či matica $P$ je symetrická.
* Pozrieť sa, či stopa (t.j. súčet prvkov na diagonále) sa rovná dimenzii; t.j. v našom prípade $\operatorname{Tr}(P)=\dim(S)=2$.
Tu už treba o čosi viac počítania - ale pre akýkoľvek vektor vieme vypočítať $\vec xP$; môžeme teda vyskúšať, či sa vektory z $S$ po vynásobení touto maticou nemenia; a tiež to, či sa vektor z $S^\bot$ vynuluje.
Nepísal som sem nič k výpočtu ortogonálnej resp. ortonormálnej bázy. Napíšem aspoň toľko, že ak som sa dopracoval k nejakým vektorom, o ktorých si myslím, že tvoria ONB, tak určite môžem aspoň vypočítať pre ne skalárne súčiny a pozrieť sa na to, či sú na seba naozaj kolmé.
Dôležité je nezabudnúť, že takéto niečo funguje iba pre ortoronormálnu bázu.
Ak som zobral vektory
\begin{align*}
\vec a_1&=(1,0,2,2)\\
\vec a_2&=(1,2,0,-2)\\
\vec a_3&=(2,1,3,2)\\
\end{align*}
vynormoval ich
\begin{align*}
\vec u_1&=\frac1{\sqrt9}(1,0,2,2)\\
\vec u_2&=\frac1{\sqrt9}(1,2,0,-2)\\
\vec u_3&=\frac1{\sqrt{18}}(2,1,3,2)\\
\end{align*}
a počítal potom
$$P=\vec u_1^T\vec u_1+\vec u_2^T\vec u_2+\vec u_3^T\vec u_3,$$
tak to nebude správny výsledok:
* Vektory, ktoré som použil, netvoria bázu.
* A nie sú ani na seba kolmé.
Ak naozaj takúto maticu vypočítate, tak by ste mali zistiť, že $\operatorname{Tr}(P)=3$. (Čiže toto nesedí - ale ak som si neskontroloval či zadané vektory sú lineárne závislé, tak som si možno nevšimol, že $\dim(S)=2$, a teda takto chybu nenájdem.)
Ale určite môžem aspoň skontrolovať, či pre zadané vektory vychádza $\vec x\vec P=\vec x$; a ak to nesedí, tak viem, že niekde je problém.