msleziak.com

Úloha 2.1. Nájdite bázu a dimenziu $S^\bot$ pre $S=[(1,2,3,1),(1,1,1,1),(1,2,3,2)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Najprv overíme, či sú vektory generujúce podpriestor $S$ lineárne nezávislé úpravou matice, s vektormi generujúcimi $S$ ako riadkami, na redukovaný trojuholníkový tvar. Tým zároveň nájdeme jednoduchú bázu $S$.

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}= A$

Vieme, že podpriestor riešení homogénnej sústavy rovníc s koeficientami danými maticou $A$ je ortogonálny doplnok $S$. Teda $d(S^\bot) = d(\mathbb R^4) - h(A) = 4 - 3 = 1$

Báza $S^\bot$ je ľubovoľné nenulové riešenie $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ tejto homogénnej sústavy. V treťom stĺpci $A$ nie je vedúca jednotka, zoberme teda napríklad $x_3 = 1$ a zvyšné hodnoty dopočítajme. Matica $A$ určuje homogénnu sústavu:
$x_1 - x_3 = 0$
$x_2 + 2x_3 = 0$
$x_4 = 0$

Po dosadení $x_3 = 0$ dostávame:
$x_1 - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x_2 + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
$x_4 = 0$

Teda napríklad (1, -2, 1, 0) je báza $S^\bot$.

Riešenie tejto úlohy je v poriadku, značím si 1 bod.