Väčšinou ste riešili túto úlohu cez Euklidovu vetu o výške - to bolo aj riešenie, ktoré som typicky očakával. (A je asi vcelku prirodzené, keďže s takýmto niečím ste sa stretli.)Zdôvodnite, že ak máme zadané úsečky dĺžok x a y, tak pomocou pravítka a kružidla vieme skonštruovať aj úsečku dĺžky √xy.
Teda ste vlastne zostrojili pravouhlý trojuholník, kde odvesna je pätou výšky rozdelená na časti dĺžok x a y; dĺžka výšky je potom √xy.
Wikipédia: Geometric mean theorem
Viacerí ste v riešení dokonca Euklidovu vetu o výške aj odvodili. Najčastejšie pomocou podobnosti trojuholníkov. Páčilo sa mi aj zdôvodnenie pomocou mocnosti bodu ku kružnici.
A našli sa aj riešenia, kde bolo použité vyjadrenie pre odvesnu.
*****
Euklidove vety sa dajú použiť aj na zdôvodnenie Pytagorovej vety:
cca=a2ccb=b2c(ca+cb)=a2+b2c2=a2+b2
V podstate takéto odvodenie nájdete aj ako jeden dôkaz na Wikipédii: Pythagorean theorem § Proof using similar triangles (linka na súčasnú verziu).
*****
Jedno zaujímavé riešenie iného typu bolo také, že ste zostrojili pravouhlý trojuholník s preponou x+y a odvesnou x−y.
(x+y)2−(x−y)2=4xy√(x+y)2−(x−y)2=2√xy
Potom druhá odvesna má dĺžku 2√xy a vieme dostať aj úsečku dĺžky √xy.