msleziak.com

Nech $p_1,\dots,p_n$ sú rôzne prvočísla. Dokážte, že potom ich logaritmy $\ln p_1,\ldots,\ln p_n$ sú lineárne nezávislé nad $\mathbb Q$. (Hint: Rovnosť $c_1\ln p_1+\dots+c_n\ln p_n=0$ je ekvivalentná s $p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n}=1$. Viete dostať takúto rovnosť s celočíselnými exponentami?)

Táto úloha súvisela s tým, že ak sa pozeráme na $\mathbb R$ ako vektorový priestor nad $\mathbb Q$, tak tento priestor nie je konečnorozmerný. (A spomenuli sme si, že to isté vieme zdôvodniť aj pomocou kardinality.)

Pridám nejaké linky, kde sa dá pozrieť riešenie:
* Prove linear combinations of logarithms of primes over $\mathbb{Q}$ is independent
* Is there a quick proof as to why the vector space of $\mathbb{R}$ over $\mathbb{Q}$ is infinite-dimensional?

Stručne zosumarizované, rovnosť $c_1\ln p_1+\dots+c_n\ln p_n=0$ prepíšeme ako
$$p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n}=1.$$
V tejto rovnosti sú všetky exponenty racionálne čísla, ale po umocnení na n.s.n. všetkých menovateľov už vieme dostať rovnosť
$$p_1^{d_1}\cdots p_n^{d_n}=1,$$
kde sú už ako exponenty iba celé čísla.

Ešte si treba dať pozor na to, že niektoré exponenty môžu byť kladné a niektoré záporné. Ak po drobnej úprave túto rovnosť vieme dostať do tvaru:
$$p_{i_1}^{e_1}\cdots p_{i_k}^{e_k}=p_{j_1}^{f_1}\cdots p_{j_l}^{f_l},$$
kde na ľavej a pravej strane máme navzájom rôzne prvočísla, ktorú sú umocnené na nejaké nezáporné celé čísla.
Z jednoznačnosti kanonického rozkladu dostaneme, že všetky exponenty sú nulové.

Alebo ak sa vám takýto argument pozdáva viac, môžeme sa pozrieť na rovnosť $p_1^{d_1}\cdots p_n^{d_n}=1$ tak, že si ľavú stranu prepíšeme ako zlomok - podľa toho, či exponent je kladný alebo záporný. A potom sa zamyslíme nad tým, čo sa musí stať, aby sa províslo $p_i$ v tomto zlomku nejaok vykrátilo.

V riešení určite bolo treba využiť, že $c_1,\dots,c_n$ sú racionálne - bez toho to neplatí. Ľahko nájdete príklady, ktoré to ukazujú, napríklad viem dostať
$$c_1\ln 2+c_2\ln 3=0,$$
ak zvolím $c_1=\ln 3$ a $c_2=-\ln 2$.
Ak ste teda napísali niečo, čo vám pripadalo ako riešenie tejto úlohy, ale nikde ste nevyužili že ide o racionálne čísla; tak by malo byť jasné, že niekde je problém.