Limita aritmetických priemerov
Posted: Fri Oct 06, 2023 12:05 pm
Na dnešnej prednáške som použil takýto fakt - bez dôkazu:
$$\lim_{n\to\infty} x_n=\ell \qquad\Rightarrow\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}n = \ell$$
T.j. ak nejaká postupnosť konverguje, tak kongerguje aj postupnosť zostavená z aritmetických priemerov prvých n členov a má tú istú limitu.
Beriem to ako ľahké cvičenie z analýzy, ale aj tak pridám pár náhodných liniek.
$$\liminf_{n\to\infty} x_n \le \liminf_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}n \le \limsup_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}n \le \limsup_{n\to\infty} x_n$$
Opäť tu je aj nejaká linka: If $\sigma_n=\frac{s_1+s_2+\cdots+s_n}{n}$ then $\operatorname{{lim sup}}\sigma_n \leq \operatorname{lim sup} s_n$
Tento článok na Wikipédii s tým do istej miery súvisí: Cesàro summation
Spomenul som aj to, že sa na to dá pozerať ako na špeciálny prípad Stolz-Cesàrovej vety. Tú nájdete dokázanú napríklad aj v texte z teórie čísel. (V druhej časti - ktorá sa týka letného semestra.)
Stručne je k nej niečo aj tu na fóre: viewtopic.php?t=217
$$\lim_{n\to\infty} x_n=\ell \qquad\Rightarrow\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}n = \ell$$
T.j. ak nejaká postupnosť konverguje, tak kongerguje aj postupnosť zostavená z aritmetických priemerov prvých n členov a má tú istú limitu.
Beriem to ako ľahké cvičenie z analýzy, ale aj tak pridám pár náhodných liniek.
- Prove convergence of the sequence $(z_1+z_2+\cdots + z_n)/n$ of Cesaro means
- On Cesàro convergence: If $x_n \to x$ then $z_n = \frac{x_1 + \dots +x_n}{n} \to x$
- Mean of a Convergent Sequence
$$\liminf_{n\to\infty} x_n \le \liminf_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}n \le \limsup_{n\to\infty} \frac{x_1+\dots+x_n}n \le \limsup_{n\to\infty} x_n$$
Opäť tu je aj nejaká linka: If $\sigma_n=\frac{s_1+s_2+\cdots+s_n}{n}$ then $\operatorname{{lim sup}}\sigma_n \leq \operatorname{lim sup} s_n$
Tento článok na Wikipédii s tým do istej miery súvisí: Cesàro summation
Spomenul som aj to, že sa na to dá pozerať ako na špeciálny prípad Stolz-Cesàrovej vety. Tú nájdete dokázanú napríklad aj v texte z teórie čísel. (V druhej časti - ktorá sa týka letného semestra.)
Stručne je k nej niečo aj tu na fóre: viewtopic.php?t=217