Martin Sleziak wrote:
Nech $(R,+,\cdot)$ je okruh s jednotkou. Ak existuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu $\cdot$ k $1-ab$, tak existuje aj inverzný prvok k $1-ba$.
Mne sa táto úloha zdá pekná preto, že ak viete, čo má vyjsť (niekto vám to prezradí, alebo uhádnete), tak je úloha už ľahká. Zaujímavejšie je ale, ako sa na ten ty na inverz k $1-ba$ dá prísť.
Čiže začnem tým, že napíšem, čo má vyjsť; ale asi nás väčšmi zaujíma, ako sa dostať k "tipu" na inverz, než samotné overenie, takže túto prvú časť radšej preskočte, ak sa stále chcete pokúsiť s pomocou hintov nájsť vhodný tip samostatne.
Výsledok má byť
Detailný výpočet, ktorý by mal byť ale ľahký:
Takže ak ste nazreli do tých predošlých častí, už viete, že keď správne uhádneme tvar inverzu je to ľahké - alebo ste tam nenazreli a uverili, otázka je ako nájsť dobrý tip. Na to je určite veľa možností, napíšem niektoré, o akých viem ja.
**************************
Hint 1: Možno by stálo za pokus pozrieť sa na to v nejakých jednoduchých okruhoch, s ktorými vieme dobre pracovať (alebo aspoň pre niektoré prvky), a ak to budeme vedieť vymyslieť tam, tak to možno zovšeobecníme.
Je pomerne veľa situácií, v ktorých vieme, že
$$(1-x)^{-1}=1+x+x^2+x^3+\dots$$
Napríklad v reálnych číslach pre prvky v absolútnej hodnote menšie ako 1. (Čo pre naše účely nie je úplne ideálne, lebo naše zadanie je skôr zaujímavé pre nekomutatívne okruhy. Ale aj to môže priniesť nejaký insight.) Ale možno ste sa už stretli s tým, že niečo podobné platí napríklad v okruhu matíc, ak $x$ je taká matica, že uvedený rad bude konvergovať. Pozri aj
Neumann series na Wikipedii. (S veľmi veľkou pravdepodobnosťou sa s týmto výsledkom stretnete na predmete funkcionálna analýza približne v takej formulácii ako je na Wiki.)
Čiže prvý hint je - ak vyjadríme inverzy k $1-ab$ a $1-ba$ ako geometrický rad, vieme potom nejako vyjadriť jeden z nich pomocou druhého? Ak áno, vedeli by sme dokázať toto vyjadrenie všeobecne (t.j. aj pre prípady, kde robiť geometrický rad nemá zmysel)?
Detaily riešenia:
Poznámka: Toto je riešenie, na ktoré som ja prišiel ako prvé - asi to súvisí s tým, že som už viackrát videl Neumannov rad, tak mi prišlo prirodzené niečo také skúšať.
***************
Hint 2: Teraz budeme pracovať v ľubovoľnom okruhu, pozrieme sa na to, čo vieme a skúsime sa dopracovať k tomu, čo by sme vedeli odvodiť o $(1-ba)^{-1}$, resp. či by sme dokonca vedeli nájsť vyjadrenie pomocou $a$, $b$ a $c=(1-ab)^{-1}$. (S týmto hintom mám trochu problém, pokiaľ ešte mám zájsť, aby som vám na jednej strane pomohol a na druhej strane neprezradil priveľa - skoro celé riešenie. Preto som to rozdelil na tak veľa častí - môžete si vždy pozrieť iba časť riešenia a skúsiť sa zamyslieť. čo ďalej - a komu sa nebude chcieť rozmýšľať, alebo to už vzdá, tak si môže samozrejme pozrieť všetky časti.)
Označili sme teda $c=(1-ab)^{-1}$, teda vieme $(1-ab)c=c(1-ab)=1$.
Stučný podhint: Skúste si napísať rovnosti, ktoré máte doteraz, a skúšať, či z prvku $(1-ba)$ viete vhodným prenásobením dostať jednotku.
Detailnejší podhint:
Výpočet z predošlého podhintu (aby ste si ho mohli skontrolovať)
Z rovnosti, ktorú sme teraz dostali už nie je ťažké dostať jednotku:
Našli sme teda prvok taký, že ak ním vynásobíme $(1-ba)$ sprava, tak vyjde 1. Treba ešte skontrolovať, či to vyjde aj zľava.
Aby som sa nechváli cudzím perím, na toto riešenie som neprišiel ja - mám ho odtiaľto:
http://www.sosmath.com/CBB/viewtopic.php?t=33896 (Urobil som oproti nemu nejaké drobné zmeny, dúfam, že som tam pritom nepridal nejaké chyby.)
******************
Niekedy sa podobná úloha vyskytne ako cvičenie v kurze lineárnej algebry - ak je matica $I-AB$ invertovateľná (regulárna), treba ukázať, že aj $I-BA$ je invertovateľná. Tam môžeme použiť aj iné prístupy (keď pracujeme s maticami, tak poznáme veľa kritérií na to, či nejaká matica je invertovateľná; vieme kadečo o hodnosti matíc a jadre a obraze). Čiže ak si chcete zopakovať lineárnu algebru a prácu s maticami, toto je celkom zaujímavá úloha, ja sem pridám zopár liniek, kde sa dá nájsť riešenie:
*
http://planetmath.org/encyclopedia/IABI ... tible.html
*
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=86370
*
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=110427
*
http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-bi ... 1081577790
Prípadne rovno môžete hodiť do googlu
math forum "I-AB" invertible, medzi výsledkami, čo vám vyhodí, bude isto dosť veľa relevantých k tejto úlohe. Takisto ak hľadáte
"I-AB" invertible v google books, zdá sa, že je tam medzi výsledkami zopár riešení tejto úlohy.
A keď už teda skúšame google, skúsme ho i na pôvodne zadanie:
google books
ring "1-ab" invertible
google
ring "1-ab" invertible
google
ring "1-ab" invertible math forum
Môžete pozrieť aj na niektoré veci, čo nájdete takto - možno to tam je napísané zrozumiteľnejšie, než som to napísal ja.
