Lagrangeova veta (a nekomutatívne grupy)

[Martin Sleziak]

Ako jedna z prednáškových úloh sa vyskytlo to, že medzi ľubovoľnými dvoma triedami rozkladu grupy $G$ podľa podgrupy $H$ existuje bijekcia. Spomenuli sme na tom mieste, že:

• Ako dôsledok vieme dostať to, že pre konečnú grupu platí, že počet prvkov podgrupy musí byť deliteľom počtu prvkov celej grupy.
• Na tomto predmete faktorové grupy definujeme iba pre komutatívne podgrupy. Ak si človek poriadnejšie pozrie dôkaz, tak tohto tvrdenia a vecí, ktoré sme potrebovali dokázať pred ním, tak zistí, že tieto veci sa dajú dokázať aj pre nekomutatívne grupy.

Priveľmi nechcem odbočovať k tomu, ako to je v nekomutatívnych grupách - napokon s týmto sa stretnete neskôr na iných predmetoch. Ale keď už bolo spomenuté, že niektoré veci fungujú aj bez komutatívnosti, azda nie je na škodu mať niekde trochu poriadnejšie napísané čo sa tým myslí. (Určite je ale teraz podstatné hlavne to, aby ste týmto veciam rozumeli v komutatívnom prípade, toto berte iba ako poznámku bokom.)$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}$

Budem používať označenie $(G,\cdot)$; aby som zdôraznil, že pripúšťame aj nekomutatívne operácie.
Asi sme do istej miery zvyknutí, že ak operáciu označujeme ako $+$, tak je komutatívna; ak pracujeme vo všeobecnej situácii, tak si častejšie vyberieme $\cdot$. (Toto nájdete aj na konci časti 1.3 v bielej knihe v časti "Poznámka o označovaní".)

My sme teda zvyknutí z prednášky používať reláciu ekvivalencie
$$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H.$$
Ja namiesto nej budem teda používať
$$x\sim y \Leftrightarrow x\inv y\in H.\tag{1}$$
(Neskôr sa vrátim k tomu, že pre nekomutatívne grupy by som mal ešte aj druhú možnosť.)

Čo sme vlastne potrebovali?

Na zdôvodnenie vecí, ku ktorým sme sa dostali, nám bolo treba vedieť:

• Uvedená relácia je naozaj relácia ekvivalencie.
• Popis toho, ako vyzerajú jednotlivé triedy.
• Triedy vytvoria rozklad. (T.j. ich zjednotenie je celá množina a sú po dvoch disjunktné.)
• Máme bijekciu medzi podgrupou $H$ a triedou prvku $[x]$.

Dôkaz, že je to relácia ekvivalencie, je v podstate totožný ako v komutatívnom prípade.

Spoiler:

Reflexívnosť. Platí $x\inv x=1_G\in H$

Symetrickosť. Ak $x\inv y\in H$, tak aj $y\inv x = \inv{(x\inv y)}\in H$.

Tranzitívnosť. Ak $x\inv y\in H$ a $y\inv z\in H$ tak aj $x\inv z = (x\inv y)(y\inv z)\in H$.

Aj popis tried vieme dostať vcelku jednoducho, budú to množiny $[x]=\{hx; h\in H\}$.

Spoiler:

Ak $y\inv x=h\in H$, tak $y=hx$.

Obrátene, ak $y=hx$ pre nejaké $h\in H$, tak $y\inv x=hx\inv x=h$.

Triedy dokopy dajú celé $G$ a sú po dvoch disjunktné.

Spoiler:

Pretože $x\in [x]$, platí $\bigcup\limits_{x\in G} [x]=G$.

Ak $z\in [x]\cap[y]$, tak $x\sim z$ a $z\sim y$, teda aj $x\sim y$.

Potom $[x]\subseteq[y]$, pretože každé $a\in[x]$ spĺňa $a\sim x$ a z tranzitívnosti aj $a\sim y$.
Podobne zdôvodníme aj obrátenú inklúziu $[y]\subseteq[x]$.

Ľahko dostaneme aj bijekciu medzi podgrupou $H$ a triedou $[x]$.

Spoiler:

Pretože $[x]=\{hx; h\in H\}$, ako bijekcia sa dá použiť $x\mapsto hx$.

Čo dostávame pre konečné grupy?
Či už v komutatívnom prípade (na hodine) alebo nekomutatívnom prípade (napríklad v tomto topicu) sme vedeli zdôvodniť, že:

• Grupa $G$ sa dá napísať ako zjednotenie konečne veľa tried.
• Tieto triedy sú navzájom disjunktné.
• Veľkosť každej triedy je rovná veľkosti podgrupy $H$, t.j. $\abs{[x]}=\abs H$.

Označme počet tried ako $k$. Potom máme množinu $G$ zapísanú ako zjednotenie $k$ množín, z ktorých každá má veľkosť $\abs H$. Teda platí
$$\abs G = k\cdot \abs H.$$
Čiže $\abs G$ je celočíselný násobok $\abs H$; počet prvkov podgrupy je deliteľ počtu prvkov celej grupy.

Čo sa zmení ak nepredpokladáme komutatívnosť?
Už na veciach, ktoré sme spomenuli tu, vidno, že pre nekomutatívne grupy je situácia trochu komplikovanejšia.

Mohol by som namiesto relácie ekvivalencie z $(1)$ pracovať s takouto reláciou.
$$x\sim' y \Leftrightarrow \inv yx\in H\tag{2}$$
V komutatívnom prípade samozrejme dostávam to isté. Ale bez predpokladu komutatívnosti to už vo všeobecnosti môže byť iná relácia.

Aj pre reláciu z $(2)$ by sme vedeli ukázať, že to je relácia ekvivalencie. Triedy by teraz vyzerali takto:
$$[x]_{\sim'}=\{xh; h\in H\}.$$
Môžem teda dostať iné triedy a iný rozklad. (Zvykne sa používať terminológia, ktorá vyzerá pomerne prirodzene; volajú sa ľavé a pravé triedy.)

Ale aj keby sme pracovali z touto reláciou; uvedený argument prejde takmer rovnako. Opäť vieme ukázať, že každá trieda má $\abs H$ prvkov a z toho máme záver, že $\abs H$ delí $\abs G$.

Čo hovorí Lagrangeova veta
Lagrangeovu vetu často nájdete zapísanú v tvare:
$$\abs G = [G:H]\cdot\abs H\tag{3}$$
Tu $[G:H]$ označuje počet tried rozkladu.

Pre komutatívne grupy pokojne môžeme písať aj:
$$\abs{G}=\abs{G/H}\cdot\abs{H}.\tag{4}$$
Takýto zápis by ale nebol v poriadku v nekomutatívnom prípade - tam už neplatí, že faktorová grupa sa dá vyrobiť pre ľubovoľnú podgrupu.

Kde treba komutatívnosť?
Keď sme kadejaké veci vedeli zdôvodniť bez komutatívnosti, tak sa človek môže pýtať, či sme vlastne vôbec na niektorom mieste pri konštrukcii faktorovej grupy potrebovali komutatívnosť.

Keď dokazujeme binárna operácia je dobre definovaná, tak sa vlastne snažíme dokázať takúto vec:
Ak platí $x_1\sim y_1$ a $x_2\sim y_2$, tak aj $x_1x_2\sim y_1y_2$.
Skúste si overiť, či takéto niečo viete odvodiť s použitím komutatívnosti - a rozmyslieť, na ktorom mieste ste použili komutatívnosť.

Spoiler:

Vieme, že platí $x_1\inv{y_1}\in H$ aj $x_2\inv{y_2}\in H$. Potom aj prvok
\begin{align*}
(x_1x_2)\inv{(y_1y_2)}
&=x_1x_2\inv{y_2}\inv{y_1}\\
&\overset{(*)}=(x_1\inv{y_1})(x_2\inv{y_2})
\end{align*}
patrí do $H$.
Krok označený $(*)$ je miesto, kde sme použili komutatívnosť.