Exercise 14.6 If $\pi$ is the permutation character of $S_n$, prove that
$$\langle\pi,1_{S_n}\rangle=1.$$
(Hint: you may find Exercise 11.4 relevant.)
Riešenie na základe ich hintu:
Označme $U$ permutačný modul a $V$ triviálny modul.
Z Theorem 14.24 vieme, že
$$\langle\pi,1_{S_n}\rangle=\dim (\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(U,V)).$$
V Exercise 11.4 sme videli, že dimenzia tohoto priestoru je $1$.
Iné riešenie:
Z Example 14.28(2) už vieme, že triviálny podmodul sa v permutačnom $S_n$-module vyskytuje práve raz. (Túto vec vieme overiť aj priamo, ako sme to robili tu.) Corollary 11.6 nám hovorí, že $\dim(\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(U,V))$ je presne počet koľkokrát sa v permutačnom module vystkytuje triviálny. (Modul $V$ je ireducilibný, čiže predpoklady Corollary 11.6 sú splnené.)
Exercise 14.6
Moderator: Martin Sleziak