msleziak.com

Úloha 2.5 Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(1,-1,-2,1),(1,0,-1,2),(1,1,0,3)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Najprv si bázu $S$ zjednodušíme:
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
Ďalej stačí uvažovať vektory $\vec\alpha_1 = (1,0,-1,2)$ a $\vec\alpha_2 = (0,1,1,1)$. Tie nie sú na seba kolmé, treba spraviť Gram-Schmidtovu ortogonalizáciu:

$\vec\beta_1 = \alpha_1$
$\vec\beta_2 = \alpha_2 + c \beta_1$

$$
c= - \frac{\langle \alpha_2, \beta_1 \rangle}{\langle \beta_1, \beta_1 \rangle} = - \frac{1}{6}
$$

teda
$\vec\beta_1 = (1,0,-1,2) $
$\vec\beta_2 = (0,1,1,1) - \frac{1}{6} (1,0,-1,2) = (-\frac{1}{6}, 1, \frac{7}{6}, \frac{2}{3} ) $

Vektory nie sú jednotkové, treba ich ešte normalizovať:

$$
\vec\gamma_1 = \frac{\vec\beta_1}{|\vec\beta_1|} = \frac{\vec\beta_1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1,0,-1,2) = \frac{\sqrt{6}}{6} (1,0,-1,2)
$$
$$
\vec\gamma_2 = \frac{\vec\beta_2}{|\vec\beta_2|} = \frac{\vec\beta_2}{\sqrt{ \frac{17}{6} } } = \frac{6}{\sqrt{102}} (-\frac{1}{6}, 1, \frac{7}{6}, \frac{2}{3} ) = \frac{\sqrt{102}}{17} (-\frac{1}{6}, 1, \frac{7}{6}, \frac{2}{3} )
$$

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Len pripomeniem, že pri inom príklade toho istého typu som písal o tom, ako sa dá robiť skúška. Rovnakým spôsobom by sme mohli riešenie overiť aj tu.