Kvadratická forma $n\times n$ - príklad z dnešného cvika

[Martin Sleziak]

Zadanie:Preveďte kvadratickú formu $\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 + \sum\limits_{1\le i<k\le n} x_ix_k$ na diagonálny tvar.

Malé hodnoty $n$:
$x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+\frac{x_2}2)^2+\frac34x_2^2$

$P=\begin{pmatrix}1&0\\\frac12&1\end{pmatrix}$, $D=\operatorname{diag}(1,\frac34)$

$x_1^2+x_1x_2+x_1x_3+x_2^2+x_2x_3+x_3^2=$ $(x_1+\frac{x_2}2+\frac{x_3}2)^2+\frac34x_2^2+\frac12x_2x_3+\frac34x_3^2=$ $(x_1+\frac{x_2}2+\frac{x_3}2)^2+\frac34(x_2^2+\frac23x_2x_3+x_3^2)=$ $(x_1+\frac{x_2}2+\frac{x_3}2)^2+\frac34(x_2+\frac13x_3)^2+\frac23x_3^2$

$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\\frac12&1&0\\\frac12&\frac13&1\end{pmatrix}$, $D=\operatorname{diag}(1,\frac34,\frac23)$

$x_1^2+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_3+x_2^2+x_2x_3+x_2x_4+x_3^2+x_3x_4+x_4^2=$ $(x_1+\frac{x_2}2+\frac{x_3}2+\frac{x_4}2)^2+\frac34x_2^2+\frac12x_2x_3+\frac12x_2x_4+\frac34x_3^2+\frac12x_3x_4+\frac34x_4^2=$
$(x_1+\frac{x_2}2+\frac{x_3}2+\frac{x_4}2)^2+\frac34(x_2+\frac13x_3+\frac13x_4)^2+\frac23x_3^2+\frac13 x_3x_4+\frac23x_4^2=$
$(x_1+\frac{x_2}2+\frac{x_3}2+\frac{x_4}2)^2+\frac34(x_2+\frac13x_3+\frac13x_4)^2+\frac23(x_3+\frac14x_4)^2+\frac58x_4^2$

$P=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\frac12&1&0&0\\\frac12&\frac13&1&0\\\frac12&\frac13&\frac14&1\end{pmatrix}$, $D=\operatorname{diag}(1,\frac34,\frac23,\frac58)$

Ľubovoľné $n$:
Z predošlých výpočtov by sa mohlo dať uhádnuť, že všeobecne dostaneme
$P=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \ldots & \ldots & \ldots& 0 \\
\frac12 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
\frac12 & \frac13 & 1 & 0 & \ldots & 0\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\frac12 & \frac13 & \frac14 & \ldots & \frac1n & 1
\end{pmatrix}$
a $D=\operatorname{diag}(1,\frac34,\frac46,\dots,\frac{n+1}{2n})$.

Či naozaj platí $PDP^T$ vieme skontrolovať priamym výpočtom:
$a_{ii}=(\frac12,\frac13,\dots,\frac1i,1,0,\dots,0)D(\frac12,\frac13,\dots,\frac1i,1,0,\dots,0)^T=$ $(\frac12,\frac13,\dots,\frac1i,1,0,\dots,0)(\frac12,\frac14,\dots,\frac1{2{i-1}},\frac{i+1}{2i},0,\dots,0)^T=$ $\sum\limits_{k=1}^{i-1}\frac1{2(k-1)k}+\frac{i+1}i=$ $\frac12-\frac1{2i}+\frac12+\frac1{2i}=1$
$a_{ij}=(\frac12,\frac13,\dots,\frac1i,1,0,\dots,0)D(\frac12,\frac13,\dots,\frac1j,1,0,\dots,0)^T=$ $(\frac12,\frac13,\dots,\frac1i,1,0,\dots,0)(\frac12,\dots,\frac1{2(i-1)},\frac1{2i},\dots,\frac1{2(j-1)}\frac{j+1}{2j},0,\dots,0)$ $=\sum\limits_{k=1}^{i-1}\frac1{2k(k-1)}+\frac1{2i}=$ $\frac12-\frac1{2i}+\frac1{2i}=1$

Inverzná matica k $P$:
Na cviku sme sa to snažili rátať opačným smerom (pomocou riadkových/stĺpcových úprav). Matica prechodu, ktorá by nám vyšla tam by mala byť $P^{-1}$. (Ak sme používali rovnaké úpravy.) Zatiaľ som neskúšal zrátať $P^{-1}$ pre malé hodnoty, či sa tam bude dať zbadať nejaký nie moc zložitý pattern.