msleziak.com

Úloha 5.6.1. Nech $A, B \in M_{m,n}(F)$. Dokážte: Matice $A, B$ sú riadkovo ekvivalentné práve vtedy, keď existuje regulárna matica $R \in M_{m,m}(F)$ taká, že $B = RA$.

$\Rightarrow$ Vieme, že je možné $B$ z $A$ dostať pomocou konečnej postupnosti elementárnych riadkových operácií. Označme $E_k,\dots,E_1$ $m\times m$ matice ERO týchto operácii ($E_k$ je matica prvej ERO, $E_1$ poslednej) (Definícia 5.6.1.) Podľa tvrdenia 5.6.3. potom vieme, že $B=E_1E_2\dots E_{k-1}E_kA$. Označme $E = E_1E_2\dots E_{k-1}$. Matica $E_k$ vznikla podľa definície 5.6.1. z jednotkovej matice $m\times m\;I_m.\;h(I_m) = m$. Podľa vety 5.2.7. ERO nemenia podpriestor prislúchajúci danej matici, teda aj $h(E_k) = m$. Potom ale, aj $h(EE_k)=m$. Teda sme našli regulárnu maticu $m\times m$ $EE_k$, kde $B=EE_kA$.

$\Leftarrow$ Z poznámky 5.6.6. vieme, že $R = E^{-1}_k \dots E^{-1}_2 E^{-1}_1 T$, kde $T$ je redukovaná trojuholníková matica matice $R$. Keďže však $R$ je regulárna, musí $T$ byť jednotková matica $m\times m$. Jednotková matica je tiež maticou ERO (napríklad vynásobením prvého riadku 1). Z predpokladu ďalej vieme, že $B =RA= E^{-1}_k \dots E^{-1}_2 E^{-1}_1 TA$. Vieme, že invezné matice k maticiam ERO sú vlastne matice opačných ERO. Teda $B$ vznikne z $A$ pomocou ERO, čo sme chceli dokázať.

OK, 1 bod

Nie je mi celkom jasné, načo zavádzate tú maticu $E$ ($=E_1E_2\dots E_{k-1}$) - ako keby ste tam chceli niečo robiť indukciou, ale nerobíte.
Priamo viete, že $h(E_1E_2\dots E_{k-1}E_k)=m$, lebo ERO nemenia priestor, teda ani dimenziu (riadkového priestoru matice, v tomto prípade $I$ rozmeru $m\times m$) a teda ani hodnosť matice. Tú "potrebnú" maticu teda môžete rovno písať ako $R=E_1E_2\dots E_k$, je zbytočné používať "medzikrok" $EE_k$.
Nebolo by logickejšie označiť $E_{{\color{red} 1}}$ ako maticu prvej vykonanej ERO a $E_k$ ako maticu poslednej vykonanej ERO? Potom by ste samozrejme písali, že $B=E_k\dots E_1A$. Toto je samozrejme nepodstatné.