msleziak.com

Napíšem niečo k tomuto príkladu:$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$

a) Dokážte: Nech $V_{1,2,3}$ sú vektorové priestory a $\Zobr f{V_1}{V_2}$, $\Zobr g{V_2}{V_3}$ sú lineárne zobrazenia. Potom platí $\Ker(f)\subseteq\Ker(g\circ f)$.
b) Nájdite príklad lineárnych zobrazení takých, že $\Ker(f)\ne\Ker(g\circ f)$.
Symbol $\Ker f$ označuje jadro lineárneho zobrazenia $f$, t.j. $$\Ker f=\{\vec x\in V_1; f(\vec x)=\vec0\}.$$

a) Chceme ukázať, že $\Ker(f)\subseteq\Ker(g\circ f)$, t.j. vlastne chceme overiť implikácie
\begin{align*}
\vec x\in\Ker(f) \qquad &\Rightarrow \qquad \vec x\in\Ker(g\circ f),\\
f(\vec x)=\vec0 \qquad &\Rightarrow \qquad g\circ f(\vec x)=\vec0.
\end{align*}
Na to si stačí uvedomiť, že ak $f(\vec x)=\vec0$, tak platí
$$g(f(\vec x))=g(\vec0)=\vec0.$$

b) Veľmi jednoduchý príklad je, ak si vezmeme za $g$ nulové zobrazenie $g(\vec x)=0$. Vtedy máme $\Ker(g\circ f)=V_1$.
Ak si ďalej zvolíme ako $f$ nejaké nenulové zobrazenie, tak budeme mať $\Ker(f)\ne V_1$.
Napríklad takéto niečo môžeme dosiahnuť pre ľubovoľný netriviálny vektorový $V\ne\{\vec0\}$ ak si vezmeme $f=id_V$ a použijeme nulové zobrazenie $\Zobr gVV$. (Tu je $V_1=V_2=V_3=V$.)

Skúsim aj takýto príklad, ktorý je asi celkom dobre predstaviteľný geometricky.
Ak si zoberieme zobrazenia $\Zobr{f,g}{\mathbb R^2}{\mathbb R^2}$ také, že
\begin{align*}
f(x_1,x_2)&=(x_1,0)\\
g(x_1,x_2)&=(0,x_2)
\end{align*}
tak $g\circ f$ bude nulové zobrazenie. Teda platí $\Ker(g\circ f)=\mathbb R^2$.
Súčasne $\Ker(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2; x_1=0\}=[(1,0)]$ je jednorozmerný podpriestor, ktorý sa nerovná celému $\mathbb R^2$.
Teda pre tieto zobrazenia máme $\Ker(f)\ne\Ker(g\circ f)$.

Dá sa nájsť aj veľa iných príkladov.