Riešenie úlohy 3.2.: kanonický tvar kvadratickej formy

[korbas4]

Úloha 3.2. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1^2 + 2x_1x_2 − x_2^2 + 4x_2x_3$.

Rišenie:
Najprv si zapíšeme koeficienty polynómu do symetrickej matice a postupnými riadkovými a stĺpcovými operáciami symetrickými po diagonále matice dostaneme diagonálnu maticu s koeficientami 1 alebo -1, ktoré nám budú udávať príslušný kanonický tvar:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} = D$

Z toho máme, že daný polynóm ide vyjadriť v tvare $x_1^2 + 2x_1x_2 − x_2^2 + 4x_2x_3 = y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$

Teraz ešte chceme dostať regulárnu maticu riadkových operácii, ktoré bolo treba vykonať - začneme teda upravovať jednotkovú maticu a budeme na nej vykonávať tie isté riadkové operácie, čo na tej vrchnej matici:

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end {pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 \end {pmatrix} = Q$

Teraz odvodíme príslušný kanonický tvar polynómu pomocou úpravy na štvorec:

$x_1^2+2x_1x_2-x_2^2+4x_2x_3=(x_1+x_2)^2-2x_2^2+4x_2x_3=(x_1+x_2)^2-(\sqrt{2}x_2-\sqrt{2}x_3)^2+(\sqrt{2}x_3)^2$

Z toho máme:
$y_1=x_1+x_2$
$y_2=\sqrt{2}x_2-\sqrt{2}x_3$
$y_3=\sqrt{2}x_3$

teda náš polynóm sa dá vyjadriť v tvare $y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$, čo nám vyšlo aj použitím matíc.

a $P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \end {pmatrix}$, kde P je matica, pre ktorú platí nasledujúci vzťah:

$\vec{\beta}=\vec{\alpha}P$, kde $\vec{\alpha}=(x_1,x_2,x_3)$ a $\vec{\beta}=(y_1,y_2,y_3)$ teda $\vec{\alpha}=\vec{\beta}P^{-1}$
Danú kvadratickú formu môžme pomocou matice A zapísať ako $\vec{\alpha}A\vec{\alpha}^T=\vec{\beta}P^{-1}A(P^{-1})^T\vec{\beta}^T$
Takisto platí:
EDIT: $D=QAQ^T$ - dá sa overiť výpočtom, že to skutočne vyjde

[Martin Sleziak]

Danú kvadratickú formu môžme pomocou matice A zapísať ako $\vec{\alpha}A\vec{\alpha}^T=\vec{\beta}P^{-1}A(P^{-1})^T\vec{\beta}$
Takisto platí:
$A=QAQ^T$ - dá sa overiť výpočtom, že to skutočne vyjde

Nemala by vo výsledku niekde vystupovať aj matica $D$? Rovnosť $A=QAQ^T$ asi nebude správne.

Páči sa mi, že ste robili obidva postupy.

[korbas4]

Prepáčte, chyba z nepozornosti. Myslel som: $D=QAQ^T$. Už je to opravené aj v riešení.

[Martin Sleziak]

Pridávam výpočet na WolframAlpha, kde sú skontrolované tie výpočty s maticami:
matica Q
matica P

Značím si 1 bod.