msleziak.com

Koľkými spôsobmi sa dajú permutovať písmená slova BARBAR tak, aby nenasledovali tesne po sebe?

Výsledok vyjadrite aj ako konkrétne číslo.

Riešenie takejto úlohy sa dá nájsť napríklad aj tu: https://math.stackexchange.com/q/3237792

Skúšaním možností.
Síce tento príklad bol v kapitole o PIE - ale môžeme sa zamyslieť nad tým, že vieme úlohu vyriešiť aj rozoberaním možností, ktoré máme.

Na prvých troch pozíciách sa vyskytnú nejaké tri písmená.
Ak sú rôzne, označme ich XYZ. V takomto prípade na druhé tri miesta máme dať opäť X, Y a Z pričom nesmieme začať písmenom Z.
Ak sú tam dve rovnaké písmená, musí to byť prvé a tretie; označme ich XYX. Potom na zostávajúce miesta máme dať 2-krát Z a raz Y; pričom jediná možnosť je ZYZ. (Ak by bolo Z v strede, tak Z je na dvoch susedných pozíciách.)

Teda vlastne máme takýchto 5 schém:
XYZXYZ
XYZXZY
XYZYXZ
XYZYZX
XYXZYZ

Do týchto schém za X, Y, Z máme dosadiť písmená A, B, C. Máme celkovo $6=3!$ možností. (Rôznym prvkom z X,Y,Z majú zodpovedať rôzne písmená.)

Celkovo dostaneme $5\cdot6=\boxed{30}$ možností.

Pomocou PIE.

Obvyklým spôsobom, ktorý sme videli na viacerých príkladoch.
Všetkých možností je $\frac{6!}{(2!)^3}$.
Počet možností, kde sa vyskytuje dvojica BB, spočítame tak, že BB vnímame ako jedno písmeno a dostaneme $\frac{5!}{(2!)^2}$. (A to isté platí pre ostatné písmená.)
Podobne postupujeme pre dve dvojice a tri dvojice a z PIE dostaneme pre počet takýchto slov:
\begin{align*}
V&=\frac{6!}{(2!)^3}-3\cdot\frac{5!}{(2!)^2}+3\cdot\frac{4!}{2!}-3!\\
&=6\cdot5\cdot3-3\cdot5\cdot6+3\cdot4\cdot3-6\\
&=3\cdot4\cdot3-6=30
\end{align*}