msleziak.com

Koľko je prirodzených čísel $n\le1000$, ktoré sú deliteľné dvojkou, trojkou alebo päťkou?

Výsledok vyjadrite aj ako konkrétne číslo.

Riešenie takejto úlohy sa dá nájsť napríklad aj tu: https://math.stackexchange.com/q/2299588

Bude tam $734$ deliteľných niektorým z týchto čísel a $266$, ktoré nie sú deliteľné dvojkou, trojkou ani päťkou.$\newcommand{\ldcc}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$

Pomocou PIE.
Môžeme to počítať pomocou PIE - chceme vlastne vypočítať $|A_1\cup A_2\cup A_3|$, kde množiny $A_1$, $A_2$, $A_3$ označujú násobky dvojky, trojky resp. päťky.
\begin{align*}
V&=\ldcc{\frac{1000}2}+\ldcc{\frac{1000}3}+\ldcc{\frac{1000}5}-\ldcc{\frac{1000}{6}}-\ldcc{\frac{1000}{10}}-\ldcc{\frac{1000}{15}}+\ldcc{\frac{1000}{30}}\\
&=500+333+200-166-100-66+33=734
\end{align*}

Pomocou Eulerovej funkcie.
Môžeme si pomôcť Eulerovou funkciou. Podmienka, že nejaké číslo $n$ nie je deliteľné číslami $2$, $3$, $5$ je ekvivalentná s tým, že $n$ je nesúdeliteľné s číslom $30$.
Eulerova funkcia nám vráti počet takýchto čísel v rozsahu od $1$ po $30$:
$$\varphi(30)=30\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac15\right)=8$$
Rovnaká situácia bude v rozsahu od $31$ po $60$, od $61$ po $90$, atď. (V každom úseku tridsiatich po sebe idúcich čísel.)

Máme teda $33\cdot8=264$ nesúdeliteľných čísel od $1$ po $990$.
Ešte sa chceme pozrieť na čísla od $991$ po $1000$, ktoré ležia vo zvyškových triedach $1,2,\ldots,10$ a nesúdeliteľné čísla tam sú iba $1$ a $7$.
Dostaneme $266$ nesúdeliteľných čísel od $1$ po $1000$.
Súdeliteľných čísel je teda $1000-266=734$.