msleziak.com

Pre polynómy $f(x)=x^4+4x^3+x^2-6x$, $g(x)=x^3+3x^2-3x-1$ nad poľom $\mathbb R$:
a) Overte, že $1$ je koreňom oboch polynómov.
b) Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)$ daných polynómov $f(x)$, $g(x)$ a nájdite $u(x)$, $v(x)$ také, že $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$.

Ak si všimneme, že $f(1)=g(1)=0$, tak vidíme, že oba polynómy sú deliteľné polynómom $x-1$. Môžeme ich teda týmto polynómom vydeliť a hľadať n.s.d pre polynómy nižšieho stupňa.

Máme $f(x)=x^4+4x^3+x^2-6x=(x-1)(x^3+5x^2+6x)$ a $g(x)=x^3+3x^2-3x-1=(x-1)(x^2+4x+1)$.

Môžeme si všimnúť, že $x^3+5x^2+6x=x(x+2)(x+3)$. Pretože $0$, $-2$, ani $-3$ nie sú koreňmi polynómu $x^2+4x+1$, tak hneď vidíme, že $\gcd(x^3+5x^2+6x,x^2+4x+1)=1$ a $\gcd(f(x),g(x))=x-1$.

My by sme chceli však nájsť nielen n.s.d., ale aj polynómy $u(x)$ a $v(x)$.

Stačí nám namiesto pôvodných polynómov pracovať s $f_1(x)=x^3+5x^2+6x$ a $g_1(x)=x^2+4x+1$.

\begin{align*}
u(x)f_1(x)+v(x)g_1(x)&=1\\
u(x)(x-1)f_1(x)+v(x)(x-1)g_1(x)&=x-1\\
u(x)f(x)+v(x)g(x)&=x-1
\end{align*}

V nasledujúcej tabuľke som do posledných dvoch stĺpcov napísal to, akú úpravu robím, a tiež pomocné výpočty.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
x^3+5x^2+6x & 1 & 0 & & \\\hline
x^2+4x+1 & 0 & 1 & & \\\hline
x-1 & 1 & -x-1 & \text{1.riadok}-(x+1)\times\text{2.riadok} & \\\hline
6 & -x-5 & x^2+6x+6 & \text{2.riadok}-(x+5)\times\text{3.riadok} & (x+5)(x+1)+1=x^6+6x+6 \\\hline
1 & \frac{-x-5}6 & \frac{x^6+6x+6}6 & & \\\hline
\end{array}$$

$$1=\frac{-x-5}6 f(x) + \frac{x^6+6x+6}6 g(x)$$