Najväčší spoločný deliteľ pre $f(x)=x^7-1$ a $g(x)=x^4+1$
Posted: Sun Jun 16, 2024 8:19 pm
Pridám sem aspoň výpočty aj k tomuto príkladu.
\hline
f(x)=x^7-1 & 1 & 0 \\\hline
g(x)=x^4+1 & 0 & 1 \\\hline
h_1(x)=f(x)-x^3g(x)=-x^3-1 & 1 & -x^3 \\\hline
h_2=g(x)+xh_1(x)=-x+1 & x & -x^4+1 \\\hline
h_3=h_1(x)-(x^2+x+1)h_2(x)=-2 & -x^3-x^2-x+1 & x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1 \\\hline
d(x)=1 & \frac{x^3+x^2+x-1}2 & -\frac{x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1}2 \\\hline
\end{array}$$
Dostali sme, že najväčší spoločný deliteľ je $d(x)=1$ a
$$1=\frac{x^3+x^2+x-1}2 f(x) - \frac{x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1}2 g(x).$$
Kontrola
\begin{align*}
(x^3+x^2-x-1)f(x)&=(x^3+x^2+x-1)(x^7-1)\\
(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)g(x)&=(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)(x^4+1)\\
(x^3+x^2-x-1)f(x)&=x^{10}+x^9+x^8-x^7-x^3-x^2-x+1\\
(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)g(x)&=x^{10}+x^9+x^8-x^7-x^3-x^2-x-1\\
(x^3+x^2-x-1)f(x)-(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)g(x)&=2
\end{align*}
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}Pre polynómy $f(x)=x^7-1$ a $g(x)=x^4+1$ nad poľom $\mathbb R$ nájdite ich najväčší spoločný deliteľ $d(x)=\gcd(f(x),g(x))$ a vyjadrite ho v~tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$, kde $u(x),v(x)\in\mathbb R[x]$.
\hline
f(x)=x^7-1 & 1 & 0 \\\hline
g(x)=x^4+1 & 0 & 1 \\\hline
h_1(x)=f(x)-x^3g(x)=-x^3-1 & 1 & -x^3 \\\hline
h_2=g(x)+xh_1(x)=-x+1 & x & -x^4+1 \\\hline
h_3=h_1(x)-(x^2+x+1)h_2(x)=-2 & -x^3-x^2-x+1 & x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1 \\\hline
d(x)=1 & \frac{x^3+x^2+x-1}2 & -\frac{x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1}2 \\\hline
\end{array}$$
Dostali sme, že najväčší spoločný deliteľ je $d(x)=1$ a
$$1=\frac{x^3+x^2+x-1}2 f(x) - \frac{x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1}2 g(x).$$
Kontrola
\begin{align*}
(x^3+x^2-x-1)f(x)&=(x^3+x^2+x-1)(x^7-1)\\
(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)g(x)&=(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)(x^4+1)\\
(x^3+x^2-x-1)f(x)&=x^{10}+x^9+x^8-x^7-x^3-x^2-x+1\\
(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)g(x)&=x^{10}+x^9+x^8-x^7-x^3-x^2-x-1\\
(x^3+x^2-x-1)f(x)-(x^6+x^5+x^4-x^3-x^2-x-1)g(x)&=2
\end{align*}