msleziak.com

Úloha 3.3. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-2x_{2}x_{3}$

Najprv si pomocou riadkových a stĺpcových operácií upravíme maticu tak, aby sme dostali diagonálnu maticu:

$$ A=\begin{pmatrix}
1 & 1 &0 \\
1 & 1 & -1\\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}\sim_{(1)} \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
1& 1 &-1 \\
0& -1 &0
\end{pmatrix}\sim_{(1')} \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 &-1 \\
0 &-1 &0
\end{pmatrix}\sim _{(2)}
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1 &-1 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}\sim_{(2')} \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}=D$$
(1) 1. riadok += 3. riadok
(1') 1. stĺpec += 3. stĺpec
(2) 3. riadok += 2. riadok
(2') 3. stĺpec += 2. stĺpec


Teraz na jednotkovej matici budeme postupne vykonávať tie isté riadkové operácie ako na matici A.

$$I=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0& 1 & 0\\
0& 0 &1
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 &1 \\
0& 1 &0 \\
0& 0 &1
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0& 1 & 0\\
0& 1 & 1
\end{pmatrix}=Q$$

Výpočtom môžme overiť, že platí:
$D=QAQ^{T}$

pisarcikova.alena wrote: Výpočtom môžme overiť, že platí:
$D=QAQ^{T}$

Ako kontrolu sem pridám, čo vráti WolframAlpha po zadaní [[1,0,1],[0,1,0],[0,1,1]]*[[1,1,0],[1,1,-1],[0,-1,0]]*transpose([[1,0,1],[0,1,0],[0,1,1]]). Takže to naozaj vychádza. (Tri pomerne jednoduché matice $3\times 3$ zvládnema ale určite zrátať aj na papieri.)

Riešenie je správne, značím si 1 bod.