msleziak.com

Pre danú množinu $A$ a reláciu $\sim$ overte, či ide o reláciu ekvivalencie na množine $A$:
a) $A=\mathbb N$, $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $3\mid x+2y$;
b) $A=\mathbb R$, $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $|x-y|\le 1$.
(Uveďte aj zdôvodnenie prečo to je resp. nie je relácia ekvivalencie.)

Časť b) bola jednoduchá, stačí nájsť príklad, ktorý ukáže, že táto relácia nie je tranzitívna.
Máme $0\sim 1$, $1\sim 2$ ale $0\nsim 2$.

Chceme sa teda pozrieť hlavne na reláciu z druhej časti, t.j. na reláciu zadanú ako
$$x\sim y \qquad \Leftrightarrow \qquad 3\mid x+2y$$
pre $x,y\in\mathbb N$.

Je to kongruencia modulo $3$

Môžeme si najprv uvedomiť, že túto reláciu ekvivalentne môžeme prepísať ako:
$$x\sim y \qquad \Leftrightarrow \qquad 3\mid x-y.$$
Čísla $x+2y$ a $x-y$ sa líšia o celočíselný násobok trojky: $(x+2y)-(x-y)=3y$.
Z toho vidíme, že platí:
$$3\mid x+2y \qquad\Leftrightarrow\qquad 3\mid x-y.$$

Toto je presne spôsob, ako sme definovali $x\equiv y \pmod 3$.
A zdôvodnenie, že toto je relácia ekvivalencie, sme videli veľakrát - takže ho zvládneme hravo.
Alebo priamo z definície
Ale aj ak sme si túto vec nevšimli a používame zápis našej relácie ako $3\mid x+2y$, stále je pomerne priamočiare overiť všetky tri podmienky z definície relácie ekvivalencie.