msleziak.com

$\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\vp}{\varphi}
\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$Nech $R=\{\Zobr f{\R}{\R}\}$ je množina všetkých funkcií z $\R$ do $\R$. Na tejto množine vieme definovať operácie sčitovania a násobenia ako
\begin{align*}
(f + g)(x)&= f(x) + g(x) \\
(f \cdot g)(x)&= f(x) \cdot g(x)
\end{align*}
Dostaneme takto okruh. (To nemusíte overovať - považujte to za dané.)

Nech $a\in\R$. Ukážte, že potom množina
$$I=\{f\in R; f(a)=0\}$$
tvorí ideál v~okruhu $R$.

Vedeli by ste nájsť homomorfizmus $\Zobr\vp{R}{\R}$, ktorého jadrom je tento ideál?

Je to jadro homomorfizmu.

Ak definujeme pre zobrazenie $\Zobr f{\R}{\R}$
$$\vp(f)=f(a),$$
tak dostaneme zobrazenie $\Zobr\vp{R}{\R}$. (Každej funkcii $f\in R$ sme takto priradili reálne číslo.)

Toto zobrazenie je aj homomorfizmom:
\begin{gather*}
\vp(f+g)=(f+g)(a)=f(a)+g(a)=\vp(f)+\vp(g)\\
\vp(f\cdot g)=(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)=\vp(f)\cdot \vp(g)
\end{gather*}

Ľahko zistíme, že jadro tohoto homomorfizmu sa presne rovná zadanej množine $I$.
$$\operatorname{Ker}(\vp)=\{f\in R; f(a)=0\}=I$$
Na prednáške sme dokázali, že jadro homomorfizmu je ideál. Takže takýmto spôsobom sme zdôvodnili, že $I$ je naozaj ideál.

Z definície ideálu.

Aj ak by sa nám nepodarilo uhádnuť vhodný homomorfizmus, stále môžeme skúšať overiť priamo podmienky z definície ideálu.

Mali by sme overiť aj to, že $I\ne\emptyset$. Evidentne $I$ obsahuje nulovú funkciu, čiže je to naozaj neprázdna množina.

Zaujímavejšie sú dve zostávajúce podmienky. Ak $f,g\in I$, t.j. ak $f(a)=g(a)=0$, tak pre rozdiel máme
$$(f-g)(a)=f(a)-g(a)=0-0=0,$$
a teda $f-g\in I$.

Ak $f\in I$, t.j. $f(a)=0$, tak pre ľubovoľnú funkciu $r\in R$ máme
$$(rf)(a)=r(a)\cdot f(a)=r(a)\cdot 0=0.$$
Zistili sme, že $rf\in I$.

Zdôvodnenie, že $fr\in I$ sa dá urobiť analogicky. Alebo si stačí uvedomiť, že v tomto okruhu je násobenie komutatívne.