msleziak.com

Overte, či relácia $\sim$ je relácia ekvivalencie na množine $\mathbb Z$. Relácia je zadaná podmienkou:
$$x\sim y \qquad\Leftrightarrow\qquad 5\mid x+4y.$$

Môže byť užitočné uvedomiť si, že v skutočnosti platí:$\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}\newcommand{\kong}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}}$
$$x\sim y \qquad\Leftrightarrow\qquad 5\mid x-y.$$ V tomto okamihu teda vlastne vidíme:

• Že to je špeciálny prípad relácie ekvivalencie, ktorú sme videli všeobecne pre komutatívnu grupu a ľubovoľnú podgrupu.
• Že sa to veľmi podobá na relácie ekvivalencie, ktoré sme párkrát stretli - takže môžeme zopakovať podobný postup.

Konkrétne túto reláciu dostaneme pre grupu $G=(\mathbb Z,+)$ a podgrupu $H=\{5z; z\in\mathbb Z\}$.
V takomto prípade máme
$$x\sim y \qquad\Leftrightarrow\qquad x-y\in H.$$
Podľa vety z prednášky to teda je skutočne relácia ekvivalencie.

Ale overíme to ľahko aj bez odvolávania sa na výsledky z prednášky. Aj ak pracujeme priamo s predpisom zo zadania, tak je táto úloha pomerne jednoduchá.
Ak ste zvyknutí pracovať s kongruenciami, tak zadaná podmienka sa dá zapísať ako
$$\kong{x+4y}05$$
alebo ekvivalentne $\kong xy5$.