Písomka 1, skupina A, príklad 2
Posted: Mon Nov 18, 2024 8:15 pm
Pre $a,b\in \mathbb R\setminus\{0\}$ položme $a\star b=2ab$. Overte, či je $\star$ binárna operácia na množine $\mathbb R\setminus\{0\}$. Ak áno, overte (svoje tvrdenie dokážte), či je $(\mathbb R\setminus\{0\},\star)$ grupa. Ak je to grupa, overte (svoje tvrdenie dokážte), či je to komutatívna grupa.
Riešenie: pre reálne čísla $a,b\ne 0$ je $ab\ne 0$ a aj $2ab\ne 0$, preto je $\star$ binárna operácia na $\mathbb R \setminus \{0\}$.
Asociativita: pre $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ je
$$
a\star(b\star c)=a\star(2bc)=2a(2bc)=4abc
$$
Podobne
$$
(a\star b)\star c=(2ab)\star c=2(2ab)c=4abc
$$
Porovnanim týchto výsledkov vidíme, že pre všetky $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí $a\star(b\star c)=(a\star b)\star c$, t.j. $\star$ je asociatívna na $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ (dokonca by bola asociatívna aj na $\mathbb R$).
Pred hľadaním neutrálneho a inverzného prvku zistime, či je operácia $\star$ komutatívna (ak je, zjednoduší to hľadanie NP a inverzných prvkov).
Pre $a,b\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí: $a\star b=2ab=2ba=b\star a$. Teda $\star$ je komutatívna na $\mathbb R \setminus \{0\}$ (dokonca by bola komutatívna aj na $\mathbb R$).
Hľadajme neutrálny prvok: máme nájsť $x$ také, že pre všetky $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí $x\star a=a$, t.j. $2xa=a$. Vidieť, že $x=\frac12$ je riešením pre ľubovoľné $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$, naviac $\frac12\in \mathbb R \setminus \{0\}$, preto je $\frac12$ (vďaka komutativite) neutrálny prvok operácie $\star$ na $\mathbb R \setminus \{0\}$. (môžeme to aj overiť: $\frac12\star a=2\cdot \frac12\cdot a=a$) Môžeme teda označiť, že $e=\frac12$.
Pre dané $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ hľadajme inverzný prvok: pre $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ máme nájsť $x$ také, že platí $x\star a=\frac12$, t.j. $2xa=\frac12$. Vidieť, že $x=\frac{1}{4a}$ je riešením. Naviac, ak $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ tak $\frac{1}{4a}$ existuje a $\frac{1}{4a}\in \mathbb R \setminus \{0\}$ a naozaj
$\frac{1}{4a}\star a =2\cdot\frac{1}{4a}\cdot a=\frac12$, t.j. je to hľadaný inverzný prvok ku $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$.
Preto $(\mathbb R \setminus \{0\},\star)$ je grupa. Komutatívnosť sme už tiež overili, je to teda komutatívna grupa.
Riešenie: pre reálne čísla $a,b\ne 0$ je $ab\ne 0$ a aj $2ab\ne 0$, preto je $\star$ binárna operácia na $\mathbb R \setminus \{0\}$.
Asociativita: pre $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ je
$$
a\star(b\star c)=a\star(2bc)=2a(2bc)=4abc
$$
Podobne
$$
(a\star b)\star c=(2ab)\star c=2(2ab)c=4abc
$$
Porovnanim týchto výsledkov vidíme, že pre všetky $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí $a\star(b\star c)=(a\star b)\star c$, t.j. $\star$ je asociatívna na $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ (dokonca by bola asociatívna aj na $\mathbb R$).
Pred hľadaním neutrálneho a inverzného prvku zistime, či je operácia $\star$ komutatívna (ak je, zjednoduší to hľadanie NP a inverzných prvkov).
Pre $a,b\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí: $a\star b=2ab=2ba=b\star a$. Teda $\star$ je komutatívna na $\mathbb R \setminus \{0\}$ (dokonca by bola komutatívna aj na $\mathbb R$).
Hľadajme neutrálny prvok: máme nájsť $x$ také, že pre všetky $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí $x\star a=a$, t.j. $2xa=a$. Vidieť, že $x=\frac12$ je riešením pre ľubovoľné $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$, naviac $\frac12\in \mathbb R \setminus \{0\}$, preto je $\frac12$ (vďaka komutativite) neutrálny prvok operácie $\star$ na $\mathbb R \setminus \{0\}$. (môžeme to aj overiť: $\frac12\star a=2\cdot \frac12\cdot a=a$) Môžeme teda označiť, že $e=\frac12$.
Pre dané $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ hľadajme inverzný prvok: pre $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ máme nájsť $x$ také, že platí $x\star a=\frac12$, t.j. $2xa=\frac12$. Vidieť, že $x=\frac{1}{4a}$ je riešením. Naviac, ak $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ tak $\frac{1}{4a}$ existuje a $\frac{1}{4a}\in \mathbb R \setminus \{0\}$ a naozaj
$\frac{1}{4a}\star a =2\cdot\frac{1}{4a}\cdot a=\frac12$, t.j. je to hľadaný inverzný prvok ku $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$.
Preto $(\mathbb R \setminus \{0\},\star)$ je grupa. Komutatívnosť sme už tiež overili, je to teda komutatívna grupa.