Nech $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3;\ x_1^2=(x_2+x_3)^2\}$. Overte (dokážte), či je $M$ podpriestorom vektorového priestoru $\mathbb R^3$ (ako vektorového priestoru nad $\mathbb R$, sčítanie "po zložkách"}, násobenie skalárom "po zložkách", t.j. "bežný" vektorový priestor trojíc reálnych čísiel.
Riešenie: nech $\vec{\alpha}=(1,0,1)$, $\vec{\beta}=(1,0,-1)$. Očividne $\vec{\alpha},\vec{\beta}\in M$ (lebo $1^2=(0+1)^2$ a $1^2=(0+(-1))^2$), ale $\vec{\alpha}+\vec{\beta}=(2,0,0)\notin M$ (lebo $2^2\ne (0+0)^2$).
Takže $M$ nespĺňa jednu z podmienok, ktorá je potrebná, aby $M$ bol podpriestor vektorového priestoru. Čiže $M$ nie je podpriestor vektorového prioestoru $\mathbb R$.
Písomka 1, skupina A, príklad 3
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
Re: Písomka 1, skupina A, príklad 3
Keď sa na začiatku rozhodujeme, či skúsime dokazovať, že daná množina je VPP, alebo budeme hľadať protipríklad, je užitočné sa zamyslieť, ako daná množina vyzerá. A skúsiť si ju prípadne nakresliť.
Pozrime sa na podmienku, ktorú musia spĺňať súradnice vektorov patriace do množiny $M$. Podmienka $x_1^2 = (x_2 + x_3)^2$ pripúšťa dve možnosti. Buď $x_1 = +(x_2 + x_3)$ alebo $x_1 = -(x_2 + x_3)$.
Prvá možnosť teda zahŕňa vektory $(x_1, x_2, x_3)$ spĺňajúce podmienku $x_1 -x_2 -x_3 = 0$. Tieto vektory tvoria rovinu v $\mathbb{R}^3$, ktorá je určená normálovým vektorom $(1,-1,-1)$, to viete z analytickej geometrie zo strednej školy. Prečo je to tak, uvidíte neskôr, keď sa bude preberať skalárny súčin a ortogonálne doplnky. Označme túto rovinu $\alpha$.
Druhá možnosť zahŕňa vektory $(x_1, x_2, x_3)$ spĺňajúce podmienku $x_1 +x_2 +x_3 = 0$, čo je opäť rovnica roviny s normálovým vektorom $(1,1,1)$. Označme túto rovinu $\beta$.
Zistili sme ako "vyzerá" množina $M$, sú to vektory z jednej alebo druhej roviny, teda $M=\alpha \cup \beta$, kľudne si nakreslite približný obrázok.
Ak by sme zobrali vektory $\vec{a},\vec{b} \in \alpha$, tak ich súčet $\vec{a}+\vec{b} \in \alpha \subset M$ aj násobok $c.\vec{a} \in \alpha \subset M$ pre $c\in\mathbb{R}$ - predstavíme si rovnobežníkové pravidlo ako sa hľadá súčet vektorov a tiež priamku ako všetky reálne násobky vektora $\vec{a}$.
Podobne ak by sme si zobrali dva vektory $\vec{a}, \vec{b} \in \beta$, tak $\vec{a}+\vec{b}\in \beta \subset M$ aj $c.\vec{a} \in \beta \subset M$.
Problém nastane, ak zoberieme dva nenulové vektory, jeden vektor z roviny $\alpha$ a druhý vektor z roviny $\beta$. Pretože ich súčet bude ležať mimo rovín $\alpha$ a $\beta$ a teda aj mimo $M$.
Z tejto úvahy vidíme, že má zmysel hľadať kontrapríklad a konkrétne taký, že $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3) \in \alpha$ a teda $a_1-a_2-a_3 =0$ a druhý vektor $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3) \in \beta$ a teda $b_1+b_2+b_3 =0$. Toto práve spĺňajú spomínané vektory $\vec{a} = (1,0,1)$ a $\vec{b} = (1,0,-1)$.
Ak si teda dokážeme predstaviť, ako množina $M$ vyzerá, vidíme, či má zmysel hľadať protipríklad, ktoré z kritérií zlyhá a kde máme vektory pre protipríklad hľadať. Podobne ako "druhá mocnina" sa správa aj "absolútna hodnota" v podmienkach $M$.
Ak je množina $M$ určená jednou lineárnou rovnicou, t.j. $M=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n;\ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n =0, \text{ kde } \forall a_i \in \mathbb{R}\}$, kde je aspoň jedno $a_i$ nenulové, ide o nadrovinu v priestore $\mathbb{R}^n$ určenú normálovým vektorom $(a_1,\dots,a_n)$. Nadrovina je VPP v danom $ \mathbb{R}^n$ a má zmysel sa púšťať do overovania podmienok. To bolo v skupine B, 3 príklad.
Pozrime sa na podmienku, ktorú musia spĺňať súradnice vektorov patriace do množiny $M$. Podmienka $x_1^2 = (x_2 + x_3)^2$ pripúšťa dve možnosti. Buď $x_1 = +(x_2 + x_3)$ alebo $x_1 = -(x_2 + x_3)$.
Prvá možnosť teda zahŕňa vektory $(x_1, x_2, x_3)$ spĺňajúce podmienku $x_1 -x_2 -x_3 = 0$. Tieto vektory tvoria rovinu v $\mathbb{R}^3$, ktorá je určená normálovým vektorom $(1,-1,-1)$, to viete z analytickej geometrie zo strednej školy. Prečo je to tak, uvidíte neskôr, keď sa bude preberať skalárny súčin a ortogonálne doplnky. Označme túto rovinu $\alpha$.
Druhá možnosť zahŕňa vektory $(x_1, x_2, x_3)$ spĺňajúce podmienku $x_1 +x_2 +x_3 = 0$, čo je opäť rovnica roviny s normálovým vektorom $(1,1,1)$. Označme túto rovinu $\beta$.
Zistili sme ako "vyzerá" množina $M$, sú to vektory z jednej alebo druhej roviny, teda $M=\alpha \cup \beta$, kľudne si nakreslite približný obrázok.
Ak by sme zobrali vektory $\vec{a},\vec{b} \in \alpha$, tak ich súčet $\vec{a}+\vec{b} \in \alpha \subset M$ aj násobok $c.\vec{a} \in \alpha \subset M$ pre $c\in\mathbb{R}$ - predstavíme si rovnobežníkové pravidlo ako sa hľadá súčet vektorov a tiež priamku ako všetky reálne násobky vektora $\vec{a}$.
Podobne ak by sme si zobrali dva vektory $\vec{a}, \vec{b} \in \beta$, tak $\vec{a}+\vec{b}\in \beta \subset M$ aj $c.\vec{a} \in \beta \subset M$.
Problém nastane, ak zoberieme dva nenulové vektory, jeden vektor z roviny $\alpha$ a druhý vektor z roviny $\beta$. Pretože ich súčet bude ležať mimo rovín $\alpha$ a $\beta$ a teda aj mimo $M$.
Z tejto úvahy vidíme, že má zmysel hľadať kontrapríklad a konkrétne taký, že $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3) \in \alpha$ a teda $a_1-a_2-a_3 =0$ a druhý vektor $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3) \in \beta$ a teda $b_1+b_2+b_3 =0$. Toto práve spĺňajú spomínané vektory $\vec{a} = (1,0,1)$ a $\vec{b} = (1,0,-1)$.
Ak si teda dokážeme predstaviť, ako množina $M$ vyzerá, vidíme, či má zmysel hľadať protipríklad, ktoré z kritérií zlyhá a kde máme vektory pre protipríklad hľadať. Podobne ako "druhá mocnina" sa správa aj "absolútna hodnota" v podmienkach $M$.
Ak je množina $M$ určená jednou lineárnou rovnicou, t.j. $M=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n;\ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n =0, \text{ kde } \forall a_i \in \mathbb{R}\}$, kde je aspoň jedno $a_i$ nenulové, ide o nadrovinu v priestore $\mathbb{R}^n$ určenú normálovým vektorom $(a_1,\dots,a_n)$. Nadrovina je VPP v danom $ \mathbb{R}^n$ a má zmysel sa púšťať do overovania podmienok. To bolo v skupine B, 3 príklad.