Písomka 1, skupina B, príklad 3

[jaroslav.gurican]

Nech $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3;\ 3x_1=x_2-x_3\}$. Overte (svoje tvrdenie dokážte), či je $M$ podpriestorom vektorového priestoru $\mathbb R^3$ (ako vektorového priestoru nad poľom $\mathbb R$, sčítanie "po zložkách", násobenie skalárom "po zložkách", t.j. "bežný" vektorový priestor trojíc reálnych čísiel; netreba overovať, že $(\mathbb R,+,\cdot)$ je pole).

[Martin Sleziak]

Aspoň trochu by sme mali z nejakej geometrickej intuície vidieť, že by to mal byť podpriestor:
* Zo strednej školy poznáme všeobecnú rovnicu roviny. V našom prípade $3x_1-x_2+x_3=0$ vyjadruje rovinu v $\mathbb R^3$, ktorá prechádza nulou. Takže to je podpriestor.
* Toto sme v čase písomky ešte nemali, ale teraz z prednášky už vieme, že množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Toto je veľmi jednoduchý príklad sústavy; má iba jednu rovnicu.

Poďme ale teda štandardným spôsobom overiť podmienky z definície podpriestoru.
vektor $(x_1,x_2,x_3)$ patrí do $M$ p.v.k. $3x_1=x_2-x_3$.

1. Neprázdnosť.
Platí $(0,0,0)\in M$, teda $M\ne\emptyset$. (Stačí skontrolovať, že $3\cdot0=0-0$.)

2. Súčet. Chceme skontrolovať, či pre $\vec x,\vec y\in M$ platí aj $\vec x+\vec y\in M$.
Označme $\vec x=(x_1,x_2,x_3)$, $\vec y=(y_1,y_2,y_3)$. Potom pre vektor $\vec x+\vec y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$ platí
$$\begin{align*} 3(x_1+y_1) &=3x_1+3y_1\\ &=(x_2-x_3)+(y_2-y_3)\\ &=(x_2+y_2)-(x_3+y_3), \end{align*}$$
a teda $\vec x+\vec y\in M$.

3. Skalárny násobok. Máme overiť, či pre $c\in\mathbb R$ a $\vec x=(x_1,x_2,x_3)\in M$ platí aj $c\vec x=(cx_1,cx_2,cx_3)\in M$.
Z rovnosti $$cx_1=c(x_2-x_3)=cx_2-cx_3$$ vidíme, že $c\vec x\in M$.

Samozrejme, dalo sa to robiť aj rôznymi inými spôsobmi. (Máme viacero ekvivalentných podmienok pre podpriestor. A navyše množinu $M$ vieme prepísať aj inými spôsobmi.)

[Martin Sleziak]

Komentáre k niektorým odovzdaným riešeniam.

Toto je zamýšľané ako poznámky k tretej úlohe (o podpriestore) pre obe skupiny - veci, ktoré sa vyskytli v tých písomkách, ktoré som opravoval ja.

Niektorí používate termín "vektorové pole" - pričom zväčša ste zrejme mali na mysli vektorový priestor. (Aspoň tak to vyzeralo podľa kontextu, v ktorom bol tento termín použítý.)

Pripomeniem, že v definícii vektorového priestoru je aj to, že $M\ne\emptyset$. Oplatí sa to kontrolovať tak, že skúsim, či $\vec0\in M$. (Ak tam totiž nulový vektor nepatrí, tak viem hneď povedať, že nejde o podpriestor.)

V tretej úlohe ste niektorí napísali že $M\subseteq\mathbb R^3$; a teda je to podpriestor.
Že ide o podmnožinu $\mathbb R^3$ je na prvý pohľad jasné zo zadania. Úloha bola zistiť, či to je vektorový podpriestor; tam musia byť splnené ešte aj nejaké ďalšie podmienky.

Ak chceme nájsť príklad ukazujúci, že $M$ nie je podpriestor, tak by som potreboval vektory také, že $\vec\alpha,\vec\beta\in M$ a súčasne $\vec\alpha,\vec\beta\notin M$.
Alebo ak chcem ukázať, že nie je splnená druhá podmienka, tak potrebujem nájsť skalár $c\in\mathbb R$ a vektor $\vec\alpha\in M$ tak, aby platilo $\vec\alpha\in M$ a súčasne $c\vec\alpha\notin M$.

Ak som našiel vektory také, že $\vec\alpha,\vec\beta\notin M$ a $\vec\alpha+\vec\beta\notin M$, tak to nestačí na zdôvodnenie, že $M$ nie je podpriestor.
Ak som našiel skalár a vektor také, že $\vec\alpha\notin M$ a aj $c\vec\alpha\notin M$, tak to tiež nemusí nutne znamenať, že $M$ nie je podpriestor.