DÚ - homogénne sústavy

[Martin Sleziak]

V každej skupine je úlohou nájsť bázu priestoru riešení zadanej homogénnej sústavy nad poľom $\mathbb Z_5$.

V prvej a tretej skupine dostaneme takýto redukovaný tvar:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

Vidíme, že priestor riešení má dimenziu $d(S)=n-h(A)=5-2=2$
Z tohto tvaru vieme vyčítať aj bázu priestoru riešení: $S=[(3,1,0,0,0),(4,0,2,1,0),(2,0,3,0,1)]$.

Spoiler:

Máme dve rovnice:
$$\begin{align*} x_1+2x_2+x_4+3x_5&=0\\ x_3+3x_4+2x_5&=0 \end{align*}$$
Pre ľubovoľnú voľbu premenných $x_2$, $x_4$, $x_5$ vieme dopočítať hodnoty ostatných premenných.

Ak si označíme parametre $x_2=s$, $x_4=t$, $x_5=u$, tak máme
$$\begin{align*} x_1+2s+t+3u&=0\\ x_3+3t+2u&=0 \end{align*}$$
a po úprave
$$\begin{align*} x_1&=3s+4t+2u\\ x_3&=2t+3u& \end{align*}$$
T.j riešenia sú tvaru $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(3s+4t+2u,s,2t+3u,t,u)=s(3,1,0,0,0)+t(4,0,2,1,0)+u(2,0,3,0,1)$

Dá sa nájsť aj veľa iných báz pre ten istý podpriestor - tá, ktorú sme uviedli tu, je vypočítaná obvyklým spôsobom; za parametre sme volili tie premenné, ktoré nemajú vedúce jednotky.

******

V druhej a štvrtej skupine redukovaný tvar vyzerá takto.
$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$
Odtiaľ vidíme, že $d(S')=n-h(A)=5-3=2$ a vieme nájsť aj bázu: $S'=[(3,1,0,0,0),(4,0,2,1,0)]$.

Spoiler:

Ak označíme $x_2=s$ a $x_5=t$, tak z rovníc
$$\begin{align*} x_1+2s+t&=0\\ x_3+3t&=0\\ x_5&=0 \end{align*}$$
dostaneme
$$\begin{align*} x_1&=3s+4t\\ x_3&=2t\\ x_5&=0 \end{align*}$$
T.j. riešenia sú tvaru $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(3s+4t,s,2t,t,0)=s(3,1,0,0,0)+t(4,0,2,1,0)$.

******

Môžeme si tiež všimnúť, že $S'\subseteq S$.
Vidíme to napríklad z toho, že oba bázové vektory, ktoré sme našli pre $S'$, sú aj v báze, ktorú sme uviedli pre $S$.
A vidno to aj s porovnania redukovaných tvarov - každé riešenie druhej sústavy je riešením prvej sústavy. (Obe nenulové rovnice prvej sústavy vieme dostať ako lineárne kombinácie rovníc z druhej sústavy.)

[Martin Sleziak]

Tu sú výpočty použité pri úpravách. (Samozrejme, je veľa rôznych možností, ako sa dalo postupovať - toto je jedna z nich.)

V prvej skupine sú prvý a tretí riadok rovnaké; zostali nám dva lineárne nezávislé riadky.

1. $\left(\begin{array}{ccccc|c} 3 & 1 & 2 & 4 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 2 & 4 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$


2. $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\ 4 & 3 & 4 & 1 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 4 & 2 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 4 & 2 & 0 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

V tretej skupine je súčet prvých dvoch riadkov nula; zostali nám dva lineárne nezávislé riadky.

3. $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 0\\ 4 & 3 & 1 & 2 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

4. $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 0 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 0 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\sim$ $\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$