Pre dané matice $A$, $B$ nad poľom $\Z_5$ vypočítajte $\inv A$, $\inv B$ a $\inv{(AB)}$. (Ak v niektorom z týchto prípadov neexistuje inverzná matica, zdôvodnite prečo.)
$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
4 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\qquad
B=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}$$
Matice $\inv A$, $\inv B$ vieme počítať štandardným spôsobom, ktorý sme sa tento semester naučili.
Vieme, že platí $$\inv{(AB)}=\inv B\inv A,$$
takže jedna možnosť je vypočítať súčin $AB$ a hľadať inverznú. Druhá možnosť je vypočítať súčin $\inv B\inv A$.
Výsledky sú:
\begin{align*}
\inv A&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 \\
3 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
\inv B&=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
AB&=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 2 \\
4 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
\inv{(AB)}&=
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 0 \\
3 & 1 & 4 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
Pre matice $A$, $B$ aj $AB$ vieme urobiť skúšku tým, že ich priamo vynásobíme inverznou maticou. (A ak by skúška nevyšla, tak pripomeniem, že pri tomto type výpočtu sa skúška dá robiť aj uprostred výpočtu.)
Spoiler: