Úloha 6.5.16 Vlastnosti determinantu pre zadefinované $a_{ij}$

[KseniaChernivetskaya]

Zadanie:

Nech $A$ je matica typu 7 × 7, ktorej prvky sú nepárne celé čísla. Ukážte, že
$|A|$ je celé číslo a ďalej, že $|A|$ je celočíselný násobok čísla 64.

Ak zapíšeme vzorec pre vypočítanie $det(A)$, je očividné, že determinant bude celé číslo:
$\sum_{i=1}^7 a_{1i} * a_{2i+1} * a_{3i+2} * ... * a_{7i+6} - $ $\sum_{i=7}^1a_{1i} * a_{2i-1} * a_{3i-2} * ... * a_{7i-6}$
(Súčin $Z$ je $Z$, súčet $Z$ je $Z$)

Pre druhú časť, $det(A)$ je $64p$, $p \in Z$:
K riadkom $R_2 ... R_7$ pripočítame $R_1$, pričom determinant sa nemení (podmienka determinantu pre ERO typu 3):
Súčet dvoch nepárnych čísel je párne číslo, takže riadky $R_1 ... R_7$ môžeme vydeliť dvomi, a všetky čísla matice budú $\in Z$, pričom $ 2^6 det(A') = det(A)$ (podmienka determinantu pri násobení na $c$), kde $A'$ je matica po vydelení riadkov dvomi.
Keďže všetky prvky matice $A' \in Z$, $det(A) \in Z$, ako sme ukazovali vyššie. Z rovnosti $64 det(A') = det(A)$ je vidieť, že $det(A)$ je celočíselný násobok čísla 64.

[makovnik]

Zadanie:

Nech $A$ je matica typu 7 × 7, ktorej prvky sú nepárne celé čísla. Ukážte, že
$|A|$ je celé číslo a ďalej, že $|A|$ je celočíselný násobok čísla 64.

Ak zapíšeme vzorec pre vypočítanie $det(A)$, je očividné, že determinant bude celé číslo:
$\sum_{i=1}^7 a_{1i} * a_{2i+1} * a_{3i+2} * ... * a_{7i+6} - $ $\sum_{i=7}^1a_{1i} * a_{2i-1} * a_{3i-2} * ... * a_{7i-6}$
MM: Toto vyjadrenie determinantu je problematické, keďže obsahuje len $ 14 $ sčítancov (tie, ktoré sú na diagonálach) zo $ 7! = 5040 $ (sčitujeme cez všetky permutácie, t. j. cez celú $ S_7 $) - skontrolujte si definíciu determinantu podľa textu prednášky.

(Súčin prvkov zo $Z$ je zo $Z$, súčet prvkov zo $Z$ je zo $Z$)
MM: Tento argument by pre celočíselnosť postačoval, keďže každý sčítanec je súčinom siedmich celých čísel, čiže je to celé číslo.

Pre druhú časť, $det(A)$ je $64p$, $p \in Z$:
K riadkom $R_2,\dots, R_7$ pripočítame $R_1$, pričom determinant sa nemení (podmienka determinantu pre ERO typu 3):
Súčet dvoch nepárnych čísel je párne číslo, takže riadky $R_1,\dots, R_7$ (MM: mysleli ste $R_2,\dots, R_7$) môžeme vydeliť dvomi, a všetky čísla matice budú prvky $ Z$, pričom $ 2^6 det(A') = det(A)$ (podmienka determinantu pri násobení na $c$), kde $A'$ je matica po vydelení riadkov dvomi.
Keďže všetky prvky matice $A' \in Z$, $det(A) \in Z$, ako sme ukazovali vyššie. Z rovnosti $64 det(A') = det(A)$ je vidieť, že $det(A)$ je celočíselný násobok čísla 64.
MM: V tejto argumentácii inak nevidím žiadny problém.

MM: Napriek nepresnosti vo vyjadrení daného determinantu udeľujem 2 body.