Písomka 2, úloha 2, skupina A - doplnenie do bázy

[jaroslav.gurican]

Zadanie: Zistite, či vektory $(3,2,1,1),\ (4,3,0,2),\ (2,0,1,3)\in Z_5^4$ možno doplniť do bázy $Z_5^4$. Ak áno, urobte to. Koľkými spôsobmi
sa to dá urobiť? (počíta sa nad $Z_5$)

Riešenie: Vieme, že $\DeclareMathOperator{\d}{d}$ $\d(Z_5^4)=4$. Keďže máme zadané 3 vektory, aby mala úloha riešenie, musí existovať vektor $\alpha_4\in Z_5^4$ taký, že pôvodne zadané 3 vektory spolu s $\vec\alpha_4$ tvoria bázu $Z_5^4$, t.j. pôvodne zadané vektory musia byť LN. Je dosť ľahko vidieť, že tretí zadaný vektor je súčet prvých dvoch, preto nie sú LN a teda vektory $(3,2,1,1), (4,3,0,2), (2,0,1,3)$ sa do bázy $Z_5^4$ doplniť nedajú. (Čiže odpoveď na poslednú otázku môže byť: dá sa to urobiť 0 spôsobmi).

Keďže predošlé riešenie je založené na tom, že sme niečo "zbadali", čo sa nemuselo podariť každému, môžeme použiť aj iné "štandardnejšie" riešenie: napríklad použiť vetu, že vektory (v našom prípade $\vec0\ne \vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\alpha_3$) sú LZ práve vtedy, keď je jeden z $\vec\alpha_2, \vec\alpha_3$ LK predchádzajúcich - pri tomto postupe sa už na rovnicu $\vec\alpha_3=\vec\alpha_1+\vec\alpha_2$ príde rýchlo.

Iný postup je založený na zistení dimezie podpriestoru generovaného zadanými 3 vektormi (ak je 3, sú LN, ak je menej ako 3, sú LZ) a to sa dá spraviť tým, že zistíme hodnosť matice
$A=\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 & 1\\
4 & 3 & 0 & 2\\
2 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}$.
Tento postup by mal takú výhodu, že keby sme zistili, že sú zadané vektory LN, ľahko by sme uvideli, ktorý vektor je "najlepší" na doplnenie do bázy - podľa miesta/čísla stĺpca, v ktorom príslušná trojuholníková matica nebude mať pivot.

Takže počítajme

$\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 & 1\\
4 & 3 & 0 & 2\\
2 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
+I
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 & 1\\
4 & 3 & 0 & 2\\
0 & 2 & 2 & 4
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\odot 2\\
\phantom{1}\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim
$ $\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 2\\
4 & 3 & 0 & 2\\
0 & 2 & 2 & 4
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
+I\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 2\\
0 & 2 & 2 & 4\\
0 & 2 & 2 & 4
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
+II
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 & 2\\
0 & 2 & 2 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

Posledná matica je trojuholníková matica, ktorá má dva nenulové riadky, je riadkovo ekvivalentná s maticou $A$, preto $\DeclareMathOperator{\h}{h}$
$\h(A)=2$, čiže pôvodné vektory sú lineárne závislé a teda sa nedajú doplniť do bázy.