Exercise 18.1 - permutačný char. $D_8$ ako súčet ired.

[Martin Sleziak]

Exercise 18.1. Regard $D_8$ as a subgroup of $S_4$ permuting the four corners of a square, as in Example 1.1(3). Let $\pi$ be the corresponding permutation character of $D_8$. Find the values of $\pi$ on the elements of $D_8$, and express $\pi$ as a sum of irreducible characters.

$D_8=\langle a,b; a^4=a^2=1, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$

Máme 5 tried konjugácie (teda budeme mať 5 charakterov): $\{1\}$, $\{a^2\}$, $\{a,a^3\}$, $\{b,a^2b\}$ a $\{ab,a^3b\}$.

$D_8$ môžeme reprezentovať ako podgrupu $S_4$ napríklad ak zvolíme $a=(1234)$ a $b=(12)(34)$ alebo $a=(1234)$ a $b=(13)$.
V oboch prípadoch je $a^2=(13)(24)$. Permutácia $ab$ je v prvom prípade $(13)$, v druhom prípade $(14)(23)$.

V tejto kapitole sme videli, ako vyzerá tabuľke charakterov dihedrálnej grupy, s.183:

$$
\begin{array}{c|cccccc}
g & 1 & a^2 & a & b & ab \\
|C_G(g)| & 8 & 8 & 4 & 4 & 4 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\chi_3 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
\chi_4 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
\psi_1 & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\\hline
\pi_1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\pi_2 & 4 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
\end{array}
$$
$\pi_1=\chi_1+\chi_4+\psi_1$
$\pi_2=\chi_1+\chi_3+\psi_1$