Problém s dôkazom Proposition 23.6

[Martin Sleziak]

Citujem z mailu, ale odpoveď som napísal sem, lebo tu sa ľahšie píše matika.

Jedna sa o vetu 23.6 (2). Nerozumiem celkom jej tvrdeniu, (zda sa mi, ze to nesedi s dokazom).

Otazka 1: Ak V-ireducibilny CGmodul a Vr reducibilny, ci z toho vyplyva ze charakter V (chi) je realny? (nie realizovatelny nad R)
Otazka 2: Alebo je tato veta zle sformulovana a v predpokladoch chyba ze chi je realny?

[Martin Sleziak]

Najprv sem dám kópiu ich dôkazu; skúsil som tam aj zvýrazniť to miesto, ktoré je zrejme problematické.

Proposition 23.6$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}$
Let $V$ be a $\C G$-module with character $\chi$.
(1) The $\R G$-module $V_{\R}$ has character $\chi+\ol{\chi}$; in particular, $\dim V_{\R}= 2 \dim V$.
(2) If $V$ is an irreducible $\C G$-module and $V_{\R}$ is a reducible $\R G$-module, then $\chi$ can be realized over $\R$.

Proof We have already proved part (1).
For part (2), suppose that $V$ is an irreducible $\C G$-module and $V_{\R}$ is a reducible $\R G$-module. Then by part (1), $V_{\R}=U\oplus W$, where $U$ is an $\R G$-module with character $\chi$ and $W$ is an $\R G$-module with character $\ol{\chi}$. Thus there is an $\R G$-module, namely $U$, with character $\chi$, and so $\chi$ can be realized over $\R$.

To, čo píšem tu, je ako by som si ja myslel, že sa dá doplniť ten "skok" ich v dôkaze. (Tiež som dosť dlho na to pozeral, čo tam vlastne robia.)

Vieme, že $V_{\R}$ je reducibilný ako $\R G$-modul. To znamená, že $V_{\R}=U\oplus W$.

Teraz sa na $V_{\R}$ pozrime ako na $\C G$-modul. (To je ten prechod tým ľahším smerom, každý $\R G$-modul je automaticky aj $\C G$-modul.)

Aj keď sa na to pozeráme ako na $\C G$-moduly, tak máme tú istú rovnosť $V_{\R}=U\oplus W$ (toto si asi treba trochu rozmyslieť, že sa to nepokazí tým prechodom od $\R$ k $\C$) a samozrejme, $V_{\R}$ má ten istý charakter bez ohľadu na to, či ho chápem ako $\R G$-modul alebo $\C G$-modul. Takže máme nejaký $\C G$-modul s charakterom $\chi+\ol{\chi}$ a vieme, že $\chi$ aj $\ol{\chi}$ sú ireducibilné.

To znamená, že rozklad tohoto $\C G$-modulu na dva netriviálne $\C G$-podmoduly je možný jedine tak, že jeden z nich má charakter $\chi$ a druhý $\ol{\chi}$. Teda napríklad $U$ má charakter $\chi$ a $W$ má charakter $\ol{\chi}$.

[Martin Sleziak]

Teraz sa na $V_{\R}$ pozrime ako na $\C G$-modul. (To je ten prechod tým ľahším smerom, každý $\R G$-modul je automaticky aj $\C G$-modul.)

Takže tu som nemal pravdu - mal som napísať, že z $\R G$-modulu viem dosť $\C G$-modul a bolo by si treba uvedomiť, že táto konštrukcia zachová to, či je niečo podmodulom a či je niečo priamym súčtom. Wikipedia: Complexification

V tomto prípade je ale asi jednoduchšie sa na to pozrieť cez matice a cez reprezentácie - lebo keď prechádzam od $\R G$-modulu k $\C G$-modulu, tak to vlastne znamená, že vezmem tú istú reprezentáciu, iba to raz chápem ako matice nad $\R$ a raz ako matice nad $\C$.

Modul je reducibilný práve vtedy, keď je reducibilná reprezentácia, t.j. pri vhodnej báze majú tie matice blokovo-diagonálny tvar. Ak to platí pre reprezentáciu nad $\R$ (t.j. pre $\R G$-modul), tak pre tú istú bázu to bude blokovo-diagonálne, aj keď sa na to pozerám nad $\C$ (ako na $\C G$-modul).