Kužeľosečky - dokončenie/oprava dôkazu

[Martin Sleziak]

Vrátim sa k dôkazu z poslednej prednášky, kde sa vyskytol problém, ktorý som nevedel hneď priamo na prednáške opraviť. (Časom to dopíšem aj do textu k prednáške.)

Na prednáške sme ukázali, že ako prienik kužeľa s rovinou dostaneme skutočne krivku druhého rádu.

Potom sme sa ešte pozreli na to, či vieme v závislosti od polohy roviny vzhľadom ku kužeľu zistiť typ krivky, o ktorú ide.

Tam sme dostali takúto funkciu: $\vec{u}K\vec{u}^T s^2+(\vec u K \vec v^T +\vec vK\vec u)^T st + \vec{v}K\vec{v}^T t^2+\dots=0$, vektory $\vec{u}$ a $\vec{v}$ predstavujú dva kolmé vektory v našej rovine - môžeme ich chápať ako vektory určujúce súradnicovú sústavu, v ktorej sa na túto krivku pozeráme.

Kvadratická forma, ktorá tam vystupuje, sa dá popísať pomocou matice
$$\begin{pmatrix}\vec{u}K\vec{u}^T&\vec{u}K\vec{v}^T\\\vec{v}K\vec{u}^T&\vec{v}K\vec{v}^T\end{pmatrix}.$$
Z tejto matice sme vyrátali determinant, ktorý predstavuje $\delta$.

Výpočet, ktorý sme spravili na prednáške, je v poriadku, potrebujeme však, aby uvedená matica bola symetrická. Pozrime sa na to, či vhodnou voľbou vektorov $\vec u$ a $\vec v$ vieme dosiahnuť, aby $\vec{u}K\vec{v}^T=\vec{v}K\vec{u}^T$. Inak povedané, chceme dosiahnuť, aby $\vec{u}K\vec{v}^T-\vec{v}K\vec{u}^T=0$.

Pripomeňme, že vektory $\vec u$ a $\vec v$ treba zvoliť tak, aby ležali v danej rovine a boli na seba kolmé. Na to máme veľa možností -- ak začneme s jednou takouto dvojicou vektorov, môžeme ju otáčať okolo osi osi kolmej na našu rovinu. Vektory, ktoré dostaneme otočením, spĺňajú rovnaké podmienky.

Pri otočení o pravý uhol sa dostaneme do situácie $\vec{u'}=\vec{v}$ a $\vec{v'}=-\vec{u}$. Pre tieto hodnoty máme
$$\vec{u'}K\vec{v'}^T-\vec{v'}K\vec{u'}^T=-\vec{v}K\vec{u}^T+\vec{u}K\vec{v}^T=-(\vec{u}K\vec{v}^T-\vec{v}K\vec{u}^T)$$
čiže hodnota funkcie $\vec{u}K\vec{v}^T-\vec{v}K\vec{u}^T$ sa zmenila presne na opačnú.

Pri otáčaní dvojice vektorov $\vec u$, $\vec v$ okolo danej osi sa táto hodnota mení spojito a predchádzajúca úvaha zaručí, že nadobúda nezáporné aj nekladné hodnoty. Teda musí - vďaka spojitosti - niekde nadobudnúť aj nulu.

[Martin Sleziak]

Pri otočení o pravý uhol sa dostaneme do situácie $\vec{u'}=\vec{v}$ a $\vec{v'}=-\vec{u}$. Pre tieto hodnoty máme
$$\vec{u'}K\vec{v'}^T-\vec{v'}K\vec{u'}^T=-\vec{v}K\vec{u}^T+\vec{u}K\vec{v}^T=-(\vec{u}K\vec{v}^T-\vec{v}K\vec{u}^T)$$
čiže hodnota funkcie $\vec{u}K\vec{v}^T-\vec{v}K\vec{u}^T$ sa zmenila presne na opačnú.

Toto nie je dobre, v skutočnosti som tam dostal presne ten istý výraz.

Zbytočne som však komplikoval niečo, čo je úplne jednoduché. Táto matica je symetrická bez ohľadu na výber vektorov $\vec u$, $\vec v$. Stačí si všimnúť, že
$\vec u K \vec v^T = u_1v_1+u_2v_2-au_3v_3=\vec v K \vec u^T$ (alebo tiež $\vec u K \vec v^T = (\vec u K \vec v^T)^T = \vec v K^T \vec u^T = \vec v K \vec u^T$