Exercise 19.5. A certain group $G$ or order 24 has precisely seven conjugacy classes with representatives $g_1, \dots, g_7$; further, $G$ has a character $\chi$ with values as follows:
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
g_i & g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 & g_7 \\
|C_G(g_i)| & 24 & 24 & 4 & 6 & 6 & 6 & 6 \\\hline
\chi & 2 & -2 & 0 & -\omega^2 & -\omega & \omega & \omega^2 \\
\end{array}
$$
where $\omega=e^{2\pi i/3}$. Moreover $g_1^2$, $g_2^2$, $g_3^2$, $g_4^2$, $g_5^2$, $g_6^2$, $g_7^2$ are conjugate to $g_1$, $g_1$, $g_2$, $g_5$, $g_4$, $g_4$, $g_5$, respectively.$\newcommand{\skal}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$
Find $\chi_S$, $\chi_A$ and show that both are irreducible.
By forming products of the irreducible characters found so far, find the character table of $G$.
Môžeme začať tým, že skontrolujeme, či $\chi$ je ireducibilný.
$$\skal\chi\chi= \frac4{24}+\frac4{24}+\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=6\cdot \frac16=1.$$
Teraz poďme počítať $\chi_A$ a $\chi_S$ (podľa vzorca $\chi_S(g)=\frac{\chi^2(g)+\chi(g^2)}2$ a $\chi_A(g)=\frac{\chi^2(g)-\chi(g^2)}2$.).
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
g_i & g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 & g_7 \\
|C_G(g_i)| & 24 & 24 & 4 & 6 & 6 & 6 & 6 \\\hline
\chi(g_i) & 2 & -2 & 0 & -\omega^2 & -\omega & \omega & \omega^2 \\
\chi^2(g_i) & 4 & 4 & 0 & \omega & \omega^2&\omega^2 &\omega \\
\chi(g_i^2) & 2 & 2 & -2 & -\omega & -\omega^2 & -\omega^2 & -\omega \\
\chi_S & 3 & 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\chi_A & 1 & 1 & 1 & \omega & \omega^2& \omega^2 &\omega
\end{array}
$$
Máme $\skal{\chi_S}{\chi_S}=\frac9{24}+\frac9{24}+\frac14=1$ a $\skal{\chi_A}{\chi_A}=\sum \frac1{|C_G(g_i)|}=\skal {\mathbf1}{\mathbf1}=1$.
Teda $\chi_S$ aj $\chi_A$ sú skutočne ireducibilné.
Zatiaľ poznáme teda takúto časť tabuľky.
$$\begin{array}{c|ccccccc}
g_i & g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 & g_7 \\
|C_G(g_i)| & 24 & 24 & 4 & 6 & 6 & 6 & 6 \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_A & 1 & 1 & 1 & \omega & \omega^2& \omega^2 &\omega \\
\chi & 2 & -2 & 0 & -\omega^2 & -\omega & \omega & \omega^2 \\
\chi_S & 3 & 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}$$
Vieme samozrejme pridať komplexne združené charaktery.
$$\begin{array}{c|ccccccc}
g_i & g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 & g_7 \\
|C_G(g_i)| & 24 & 24 & 4 & 6 & 6 & 6 & 6 \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_A & 1 & 1 & 1 & \omega & \omega^2& \omega^2 &\omega \\
\overline{\chi_A} & 1 & 1 & 1 & \omega^2 & \omega& \omega &\omega^2 \\
\chi & 2 & -2 & 0 & -\omega^2 & -\omega & \omega & \omega^2 \\
\overline\chi & 2 & -2 & 0 & -\omega & -\omega^2 & \omega^2 & \omega \\
\chi_S & 3 & 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}$$
Zatiaľ máme $3\times1^2+2\times2^2+3^2=20$; čiže nám chýba jediný charakter dimenzie 2.
Dostaneme ho ako $\chi_A\chi$:
$$\begin{array}{c|ccccccc}
g_i & g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 & g_7 \\
|C_G(g_i)| & 24 & 24 & 4 & 6 & 6 & 6 & 6 \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_A & 1 & 1 & 1 & \omega & \omega^2& \omega^2 &\omega \\
\overline{\chi_A} & 1 & 1 & 1 & \omega^2 & \omega& \omega &\omega^2 \\
\chi_A\chi & 2 & -2 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 \\
\chi & 2 & -2 & 0 & -\omega^2 & -\omega & \omega & \omega^2 \\
\overline\chi & 2 & -2 & 0 & -\omega & -\omega^2 & \omega^2 & \omega \\
\chi_S & 3 & 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}$$
Vzadu ešte spomínajú to, že neskôr ukážeme, že takúto tabuľku má grupa $\operatorname{SL}(2,3)$ - Exercise 27.2; t.j. Special linear group pozostávajúca z matíc $2\times 2$ nad poľom $\mathbb F_3$, ktoré majú determinant rovný 1.
Exercise 19.5
Moderator: Martin Sleziak