msleziak.com

Exercise 20.4. Suppose that $G$ is a group with a subgroup $H$ of index $3$, and let $\chi$ be an irreducible character of $G$. Prove that
$$\newcommand{\skal}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}\skal{\chi\downarrow H}{\chi\downarrow H}_H=1, 2 \text{ or }3.$$
Give examples to show that each possibility can occur.

$\skal{\chi\downarrow H}{\chi\downarrow H}_H =\sum d_i^2 \le [G:H]=3$

Ak $\chi=1$, tak určite aj $\chi\downarrow H$ je ireducibilný, a teda uvedený skalárny súčin je 1. (Rovnaké zdôvodnenie by prešlo pre ľubovoľný lineárny charakter.)

$S_3$ a $\{1,(12)\}$

Pre $G=S_3$ máme takúto tabuľku charakterov:
$$
\begin{array}{c|ccc}
& 1 & (12) & (123) \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 &-1 & 1 \\
\chi_3 & 2 & 0 & 1
\end{array}
$$
Zúžením na podgrupu $H=\{1,(12)\}$ dostaneme
$$
\begin{array}{c|ccc}
& 1 & (12) \\\hline
\chi_1\downarrow H & 1 & 1 \\
\chi_2\downarrow H & 1 &-1 \\
\chi_3\downarrow H & 2 & 0
\end{array}
$$
a vidíme, že $\chi_3\downarrow H$ je súčtom dvoch lineárnych charakterov.

$A_4$ a $V_4$


Poznáme tabuľku charakterov grupy $A_4$.
$$
\begin{array}{c|cccc}
g & id & (12)(34) & (123) & (132) \\\hline
|C_G(g)|& 12 & 4 & 3 & 3 \\\hline
\chi_1(g) & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2(g) & 1 & 1 & \omega & \omega^2 \\
\chi_3(g) & 1 & 1 & \omega^2 & \omega \\
\chi_4(g) & 3 & -1 & 0 & 0 \\\hline
\end{array}
$$

Súčasne $A_4$ obsahuje ako podgrupu $V_4=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$. Táto grupa je komutatívna, jej ireducibilné charaktery sú lineárne. Z toho už vidno, že $\chi_4\downarrow A_4$ bude súčet 3 ireducibilných charakterov.

$$
\begin{array}{c|cccc}
& 1 & (12)(34) & (13)(24) & (14)(23) \\\hline
\psi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2 & 1 & 1 &-1 &-1 \\
\psi_3 & 1 &-1 & 1 &-1 \\
\psi_4 & 1 &-1 &-1 & 1 \\
\chi_4\downarrow A_4 & 3 & -1 & -1 & -1
\end{array}
$$

$\chi_4\downarrow A_4=\psi_2+\psi_3+\psi_4$