Exercise 22.2 - počet tried konjugácie v 16-prvkovej grupe

[Martin Sleziak]

Exercise 22.2. Prove that the number of conjugacy classes in a group of order 16 is 7, 10 or 16.

Počet tried konjugácie je rovnaký ako počet ireducibilných charakterov. Vieme, že súčet druhých mocnín ich stupňov je počet prvkov grupy.

Chceme 16 napísať ako súčet druhých mocnín čísel, pričom každé z čísel musí byť deliteľ 16 (teda mocnina 2) a tiež počet jednotiek vystupujúcich v tomto rozklade má deliť 16.

Pretože $4^2=16$ a musí sa tam vyskytovať aspoň jedna jednotka, tak jediné možné stupne sú 1 a 2.

$16=16\times1^2$ (spolu 16 charakterov)
$16=8\times1^2+2\times2^2$ (spolu 10 charakterov)
$16=4\times1^2+3\times2^2$ (spolu 7 charakterov)

To sú jediné možnosti pretože $16-2\times 1^2=14$ ani $16-1\times1^2=15$ nie sú násobky $2^2$.