Exercise 22.4 - charakter konštantný na $G\setminus\{1\}$

[Martin Sleziak]

Exercise 22.4. Let $G$ be a group and let $\phi$ be a character of $G$ such that $\phi(g)=\phi(h)$ for all non-identity elements $g$ and $h$ of $G$.
(a) Show that $\phi=a1_G+b\chi_{reg}$ for some $a,b\in\mathbb C$.
(b) Show that $a+b$ and $a+b|G|$ are integers.
(c) Show that if $\chi$ is a non-trivial irreducible character of $G$, then $b\chi(1)$ is an integer.
(d) Deduce that both $a$ and $b$ are integers.

Síce ešte nemám vyriešené (d) - a zatiaľ sa nechcem pozerať dozadu - ale aj tak sem postnem aspoň to, čo zatiaľ mám.

(a) Označme $c$ hodnotu, ktorú charakter $\phi$ nadobúda pre všetky prvky z $G\setminus\{1\}$.$\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|{#1}|}\newcommand{\skal}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$


Pre ľubovoľný charakter $\chi$ dostaneme
$$\skal\phi\chi = \frac1{\abs{G}} \sum_{g\in G} \phi(g)\ol{\chi(g)} = \frac{\phi(1)\chi(1)}{\abs{G}} + \frac {c}{\abs{G}} \sum\limits_{g\ne1} \ol{\chi(g)}.\tag{1}$$

Ďalej vieme, že
$$\skal{1_G}\chi=\frac1{\abs G}\left(\chi(1)+\sum\limits_{g\ne1} \ol{\chi(g)}\right).$$
Ak $\chi$ je ireducibilný charakter rôzny od triviálneho, tak z ortogonality máme $\skal{1_G}\chi=0$, čo znamená
$$\sum\limits_{g\ne1} \ol{\chi(g)}=-\chi(1).$$

Pre každý ireducibilný charakter $\chi_i\ne 1_G$ nám teda vzťah (1) dáva
$$\skal\phi{\chi_i}=\frac{\phi(1)-c}{\abs{G}}\chi_i(1).$$
Ľahko vidno, že
$$\skal\phi{1_G}=\frac{\phi(1)+c(\abs{G}-1)}{\abs{G}}.$$

Pripomeňme ešte, že $\chi_{reg} = \sum \chi_i(1) \chi_i$.

Zo skalárnych súčinov, ktoré sme vyrátali, máme
\begin{multline*}
\phi=\sum \skal\phi{\chi_i}\chi_i = \frac{\phi(1)+c(\abs{G}-1)}{\abs{G}}1_G+\sum_{\chi_i\ne 1_G}\frac{\phi(1)-c}{\abs{G}}\chi_i(1)\chi_i=\\
=c1_G+\frac{\phi(1)-c}{\abs{G}}\sum\chi_i(1) \chi_i=c1_G+\frac{\phi(1)-c}{\abs{G}}\chi_{reg}.
\end{multline*}
To je presne rovnosť, ktorú sme mali dokázať, pričom $a=c$ a $b=\frac{\phi(1)-c}{\abs{G}}$.

(b) $a+b=\frac{\phi(1)+c(\abs{G}-1)}{\abs{G}}$ je presne číslo vyjadrujúce, koľkokrát sa vo $\phi$ vyskytuje triviálny charakter, teda to musí byť celé číslo.

$a+b\abs{G}=\phi(1)$ je stupeň charakteru $\phi$, teda je to celé číslo.

(c) Pre netriviálny ireducibilný charakter $\chi_i\ne 1_G$ vyjadruje číslo $b\chi_i(1)=\frac{\phi(1)-c}{\abs{G}}\chi_i(1)$ koľkokrát sa charakter $\chi_i$ vyskytuje vo $\phi$. Teda to musí byť celé číslo.

(d) Máme
$$b\abs{G} = b\sum \chi_i(1)^2 = b+ \sum_{\chi_i\ne1_G}b\chi_i(1)\cdot\chi_i(1)$$
$$b(\abs{G}-1)=\sum_{\chi_i\ne1_G}b\chi_i(1)\cdot\chi_i(1)$$
Na pravej strane je súčet celých čísel - podľa časti (c) - teda aj ľavá strana je celé číslo.
Zistili sme, že $b(\abs{G}-1)$ je celé číslo.

Dostávame, že $a-b=a+b\abs{G}+b(\abs{G}-1)\in\mathbb{Z}$.
Súčasne vieme, že $a+b\in\mathbb Z$.
Kombináciou týchto dvoch faktov dostaneme $2a,2b\in\mathbb{Z}$.

Ak $\abs{G}$ je párne, tak $(\abs{G}-1)$ je nepárne. Ako celočíselnú kombináciu čísel $2b$ a $b(\abs{G}-1)$ viem dostať $b$, teda aj $b\in\mathbb Z$, z čoho dostanem $a\in\mathbb Z$.
Iná možnosť: Ak $\abs{G}$ je párne, tak $a=(a+b\abs{G})-\frac{\abs{G}}2\cdot2b$ je celé číslo. Z toho dostanem aj to, že $b$ je celé.

Poznámka: Rovnaký argument môžeme použiť ak aspoň jeden z ireducibilných charakterov má nepárny stupeň, len namiesto $b(\abs{G}-1)$ použijeme $b\chi_i(1)$.

Ak $\abs{G}$ je nepárne, tak ???