Kladná definitnosť matice s parametrom
Posted: Tue Jun 11, 2013 12:22 pm
Zdá sa, že tento príklad robil na dnešnej skúške najväčšie problémy, tak k nemu niečo napíšem:
Úloha: Pre danú kvadratickú formu určte tie hodnoty parametra $t$, pre ktoré je kladne definitná:
$(x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_3-2x_2x_3)+t(6x_1x_2-2x_1x_3-2x_1^2)+t^2(x_1^2+x_2^2)$.
Najprv nájdeme príslušnú symetrickú maticu:
$A=\begin{pmatrix}1-2t+t^2&3t&1-t\\3t&1+t^2&-1\\1-t&-1&1\end{pmatrix}$
Teraz by sme radi zrátali determinanty $D_1$, $D_2$, $D_3$. Môžeme si všimnúť, že v $D_2$ sa dosť často vyskytuje parameter $t$, čo sa nám nepáči. Keby sme premenné poprehadzovali, určite to nemôže ovplyvniť kladnú definitnosť. Pri substitúcii $y_1=x_3$, $y_2=x_2$, $y_3=x_1$ dostaneme novú kvadratickú formu s maticou
$B=\begin{pmatrix}1&-1&1-t&\\-1&1+t^2&3t\\1-t&3t&1-2t+t^2\end{pmatrix}$
Vidíme, že teraz budú prvé dva determinanty jednoduchšie:
$D_1=1>0$, $D_2=t^2\ge0$.
Determinant $D_3$ bude rovnaký ako predtým, tam sa nevieme vyhnúť rátaním s parametrom. Skúsme ho teda zrátať.
$D_3=
\begin{vmatrix}
1&-1&1-t&\\
-1&1+t^2&3t\\
1-t&3t&(1-t)^2
\end{vmatrix}\overset{(1)}=$ $
\begin{vmatrix}
1&-1&1-t&\\
-1&1+t^2&3t\\
0&2t+1&0
\end{vmatrix}\overset{(2)}=$ $
\begin{vmatrix}
1&-1&0&\\
-1&1+t^2&1+2t\\
0&2t+1&0
\end{vmatrix}=$ $
-(2t+1)\begin{vmatrix}
1&0&\\
-1&1+2t
\end{vmatrix}=$ $
-(2t+1)^2$
(1) Odpočítanie $(1-t)$-násobku prvého riadku od tretieho.
(2) To isté so stĺpcami.
Vidíme, že $D_3=-(2t+1)^2\le0$; teda nie je nikdy kladne definitná.
**********************
Ešte nejaký drobný pokec:
* Vidíme, že nám v skutočnosti stačilo zrátať $D_3$. Aj tak som chcel ukázať, že občas sa môže hodiť zmeniť poradie premenných - v inom príklade to môže vyjsť tak, že bude treba rátať aj $D_2$; pokiaľ si ten výpočet vieme zjednodušiť, tak sa to oplatí urobiť. (Môžete si skúsiť zrátať $D_2$ pre pôvodnú maticu $A$.)
* Mne osobne sa zdá, že človek má menšiu šancu sa pomýliť, ak počíta determinant úpravami (alebo aspoň skúsi začať úpravami, aby mal v matici viacej núl), než priamo dosadením do Sarusovho pravidla. Možno je to do istej miery vec zvyku.
Úloha: Pre danú kvadratickú formu určte tie hodnoty parametra $t$, pre ktoré je kladne definitná:
$(x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_3-2x_2x_3)+t(6x_1x_2-2x_1x_3-2x_1^2)+t^2(x_1^2+x_2^2)$.
Najprv nájdeme príslušnú symetrickú maticu:
$A=\begin{pmatrix}1-2t+t^2&3t&1-t\\3t&1+t^2&-1\\1-t&-1&1\end{pmatrix}$
Teraz by sme radi zrátali determinanty $D_1$, $D_2$, $D_3$. Môžeme si všimnúť, že v $D_2$ sa dosť často vyskytuje parameter $t$, čo sa nám nepáči. Keby sme premenné poprehadzovali, určite to nemôže ovplyvniť kladnú definitnosť. Pri substitúcii $y_1=x_3$, $y_2=x_2$, $y_3=x_1$ dostaneme novú kvadratickú formu s maticou
$B=\begin{pmatrix}1&-1&1-t&\\-1&1+t^2&3t\\1-t&3t&1-2t+t^2\end{pmatrix}$
Vidíme, že teraz budú prvé dva determinanty jednoduchšie:
$D_1=1>0$, $D_2=t^2\ge0$.
Determinant $D_3$ bude rovnaký ako predtým, tam sa nevieme vyhnúť rátaním s parametrom. Skúsme ho teda zrátať.
$D_3=
\begin{vmatrix}
1&-1&1-t&\\
-1&1+t^2&3t\\
1-t&3t&(1-t)^2
\end{vmatrix}\overset{(1)}=$ $
\begin{vmatrix}
1&-1&1-t&\\
-1&1+t^2&3t\\
0&2t+1&0
\end{vmatrix}\overset{(2)}=$ $
\begin{vmatrix}
1&-1&0&\\
-1&1+t^2&1+2t\\
0&2t+1&0
\end{vmatrix}=$ $
-(2t+1)\begin{vmatrix}
1&0&\\
-1&1+2t
\end{vmatrix}=$ $
-(2t+1)^2$
(1) Odpočítanie $(1-t)$-násobku prvého riadku od tretieho.
(2) To isté so stĺpcami.
Vidíme, že $D_3=-(2t+1)^2\le0$; teda nie je nikdy kladne definitná.
**********************
Ešte nejaký drobný pokec:
* Vidíme, že nám v skutočnosti stačilo zrátať $D_3$. Aj tak som chcel ukázať, že občas sa môže hodiť zmeniť poradie premenných - v inom príklade to môže vyjsť tak, že bude treba rátať aj $D_2$; pokiaľ si ten výpočet vieme zjednodušiť, tak sa to oplatí urobiť. (Môžete si skúsiť zrátať $D_2$ pre pôvodnú maticu $A$.)
* Mne osobne sa zdá, že človek má menšiu šancu sa pomýliť, ak počíta determinant úpravami (alebo aspoň skúsi začať úpravami, aby mal v matici viacej núl), než priamo dosadením do Sarusovho pravidla. Možno je to do istej miery vec zvyku.
