msleziak.com

Zdravvim

mam otázku akým sposobom sa da najs polynom. O ktorom vieme ze ak by sme ho vydelili polynomom x-2 tak zvysok po deleni je rovny 2, a ak by sme ho vydelili polynomom x^2+x-7 tak zvisok po deleni je rovny -x+1.
Viem že by sa mala niako použiť Lema 4.5.3 skušal som to aj s ňou, ale bez uspešne

a ešte jednu otázku by som mal ku príkladu, ako sa riešia podobne priklady (neviem s nim pohnuť)
Nech u je koreňom polynómu x^3+ 4x^2 - 4x + 2 (je to ireducibilný polynóm nad Q). Nájdite minimálny polynóm prvku u^2 nad Q.

vopred ďakujem


už netreba už viem

g je vysledok po deleni x-2 a g2 je po deleni x*x+x-7
F(x)=g(x)*(x-2)+2
F(x)=g2(x)*(x*x+x-7)+(-x+1)

F(x)=g(x)*(x-2)+2
Ak x=2 -> F(2) = g(2)*0+2 -> F(2)=2


F(x)=g2(x)*(x*x+x-7)+(-x+1) teraz sem si za lavu stranu dam co som dostal
G2 = a, ax+b, axx+bx+c ….
F(x)=(ax+b)*(2*x+x-7)+(-x+1)
F(2)=(a2+b)*(2*2+2-7)+(-2+1)
Ale mi vieme ze f(2) = 2
F(2)=(a2+b)*(2*2+2-7)+(-2+1) -> 2=(2a+b)*(-1)+(-1) /+1 ; *-1
-3=(2a+b) teraz najprv skusime prveho stupna takze a=0 a vidime ze taky existuje a -3=b
A teraz
F(x)=g2(x)*(x*x+x-7)+(-x+1) lenze vieme ze g2(x) je pre polynom stupna 1 :
F(x)=-3*(x*x+x-7)+(-x+1)

Je to ok, len ešte treba odôvodniť, prečo žiadny polynóm stupňa menej ako 2 tým podmienkam nevyhovuje (v zadaní - aspoň pôvodnom, ako bol ten príklad na skúške sa požadovalo nájsť polynóm najnižšieho možného stupňa s takými vlastnosťami). To je dúfam dosť ľahké.

Uvedené riešenie presne kopíruje to, čo som povedal po skúške (ale vtedy som samozrejme odôvodnil, prečo polynómy stupňa 1 a menej nemôžu vyhovovať).