msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

1. prednáška: (23.9.)
Po nejakom stručnom historickom úvode sme začali prechádzať jednotlivé axiómy systému ZFC. Stihli sme: axiómu extenzionality, axiómu existencie, axiómu dvojice, axiómu zjednotenia. Ukázali sme, že existuje zjednotenie dvoch množín. (To bola posledná vec, ktorú sme stihli. V texte k prednáške je to tvrdenie 2.3.4. Veci, ktoré sme hovorili na prvej prednáške, sú v texte v kapitolách 2.2 a 2.3.)

2. prednáška: (30.9.):
Axiomatický systém ZFC. Dokončili sme ostatné axiómy.
Operácie s množinami. Pripomenuli sme definície $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$, $A\triangle B$, $A\subseteq B$. (Nevenovali sme sa detailne dôkazom ich vlastností, ale podobné veci sme robili na cvičení a poznáte ich aj z nižších ročníkov. Budem počítať s tým, že ovládate a viete dokázať fakty o týchto operáciach, ktoré sú vyslovené v tejto kapitole.) Trochu sme sa venovali prieniku a zjednoteniu systému množín $\bigcup\mathcal S$, $\bigcap\mathcal S$.

3. prednáška (7.10.):
Karteziánsky súčin. Definícia a základná vlastnosť usporiadanej dvojice. Definícia a základné vlastnosti karteziánskeho súčinu. (Prešli sme vlastne časť 2.5 z textu.)
Relácie. Definícia relácie, jednoduché príklady, vlastnosti relácií (reflexívna, symetrická, tranzitívna, antisymetrická). Skladanie relácií, a jeho vlastnosti. ($R\circ id_A=R$, $id_A\circ S=S$, $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv{(S\circ R)}=\inv R\circ \inv S$.) Nevenovali sme sa tvrdeniu 3.1.13 - podobné veci budú na cviku alebo na d.ú.
Funkcie (zobrazenia). Zadefinovali sme zobrazenie ako špeciálny prípad relácie. Zloženie dvoch zobrazení je opäť zobrazenie. Zadefinovali sme injekciu, bijekciu, surjekciu.

4. prednáška (14.10):
Funkcie. Ukázali sme, že $f^{-1}$ je zobrazenie $\Leftrightarrow$ $f$ je bijekcia. (Dôkaz tvrdenia 3.2.8 - ekvivalentná definícia inverzného zobrazenia - sme preskočili.) Ukázal som tvrdenie 3.2.14 o ľavom/pravom inverznom zobrazení pre injekciu/surjekciu. Zadefinovali sme vzor a obraz množiny. Ukázali sme niektoré časti tvrdenia 3.2.13. (Niektoré ďalšie sa objavia na cvičeniach alebo ako domáca úloha.)
Preskočil som v texte časti 3.2.1 (karteziánsky súčin systému množín) aj 3.2.2 (karteziánsky súčin funkcií) - vynechané časti nebudú ani na skúške. (Z tejto časti sa stretneme iba s karteziánsky súčinom dvoch funkcií $f\times g$ na cviku; neskôr ho použijeme aj v kapitole o kardinalite.)
Čiastočne usporiadané množiny. Zopakovali sme definíciu čiastočne usporiadanej množiny. Povedali sme si definíciu nasledovníka, predchodcu, najmenšieho, minimálneho, najväčšieho a maximálneho prvku. Povedali sme si, ako sa kreslia Hasseho diagramy.

5. prednáška (21.10.):
Čiastočne usporiadané množiny. Dokončenie - povedali sme si, čo je izomorfizmus čiastočne usporiadaných množín.
Kardinálne čísla. Definícia. Nerovnosť kardinálnych čísel a jej základné vlastnosti. Cantor-Bernsteinova veta.
(Na budúce začnem tým, že stručne zopakujem základné veci o kardinálnych číslach a urobím ešte jeden dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety.)

6. prednáška (28.10.):
Kardinálne čísla. Zopakovali sme stručne veci z minula a ukázali ešte jeden dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety.
Kardinálna aritmetika. Zadefinovali sme sčitovanie, násobenie a umocňovanie kardinálov a začali sme dokazovať niektoré ich základné vlastnosti. Zatiaľ sme stihli dokázať vlastnosti sčitovania kardinálov. (Niektoré z ďalších vlastností na prednáške preskočíme a budeme sa im venovať na cviku.)

7. prednáška (4.11.):
Dobre usporiadané množiny. Definícia dobre usporiadanej množiny. Na dobre usporiadaných množinách funguje indukcia. Lexikografický súčin dobre usporiadaných množín.

8. prednáška (11.11):
Vlastnosti operácii s kardinálnymi číslami. Na prednáške (a sčasti aj na cviku) sme prešli základné vlastnosti kardinálneho umocňovania a násobenia.

9. prednáška (18.11.):
Cantorova veta. Cantorova veta - ukázali sme si všeobecný dôkaz, potom sme si ho ešte raz ilustrovali na príklade $X=\mathbb N$, aby bolo jasnejšie, prečo sa metóde dôkazu hovorí Cantorova diagonálna metóda.
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je opäť spočítateľné. Množina racionálnych čísel $\mathbb Q$ je spočítateľná. (Z tejto časti som na prednáške preskočil tvrdenie 4.4.4.)
Kardinalita množiny reálnych čísel. Povedali sme si o dyadickom rozvoji reálneho čísla. Pomocou neho sme dokázali, že $|\mathbb R|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$.