msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

1. prednáška Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ. (Ako posledné sme stihli dokázať vetu 2.1.7 - Bézoutovu identitu. Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu.)

2. prednáška (30.9.)
Najväčší spoločný deliteľ. Dokončil som časť o n.s.d. (Euklidova lema a ďalšie vlastnosti.) Preskočil som lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť.
Prvočísla. Definícia, základné vlastnosti, základná veta aritmetiky (jednoznačnosť a existencia rozkladu na prvočísla).
Rozloženie prvočísel. Zatiaľ sme stihli len to, že v množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery. Povedali sme si tiež niečo o číslach bez kvadratických deliteľov.

3. prednáška: (7.10.)
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Ukázali sme si tri rôzne dôkazy tohoto faktu.
Využívali sme fakt, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnote tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V literatúre sa dá nájsť veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu.

4. prednáška (14.10):
Prvočíselná funkcia. Zadefinovali sme prvočíselnú funkciu a vyslovili prvočíselnú vetu (bez dôkazu). Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na $n$-té prvočíslo: $an\ln n < p_n < bn\ln n$.

5. prednáška (21.10):
Čebyševova funkcia. Odvodili sme asymptotický vzťah prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie.
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát.

6. prednáška (28.10.):
Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo o prvočíslach v aritmetických postupnostiach, o prvočíselných dvojčatách, o Mersennových a Fermatových prvočíslach.
Kongruencie. Prešli sme úvod do kongruencií, (Definícia a základné vlastnosti.)

7. prednáška (4.11)
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť.
Čínska veto o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch a ukázali sme si riešenie sústavy kongruencií aj na konkrétnom príklade. (Z tejto časti som neprednášal vetu 3.1.21, ktorú ani nebudeme vo zvyšku prednášky potrebovať.)
Harmonický rad. Ešte sme sa vrátili k harmonickému radu $\sum \frac1k$, ktorého divergenciu sme viackrát použili. Ukázali sme si výsledok o Eulerovej konštante, ktorý v podstate hovorí. že čiastočné súčty tohoto radu (harmonické čísla) rastú približne rovnako rýchlo ako $\ln n$.

8. prednáška (11.11.):
Na začiatku sme dokázali lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14. (Tie som preskočil, keď sme preberali druhú kapitolu.)
Multiplikatívne funkcie: Definícia, jednoduché príklady, $f$ je multiplikatívna $\Rightarrow$ $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. Funkcie $\sigma(n)$, $d(n)$ (súčet deliteľov a počet deliteľov.
Dokonalé čísla. Dokonalé čísla sme zadefinovali, ukázali sme si charakterizáciu párnych dokonalých čísel pomocou Mersennových prvočísel. Pre nepárne dokonalé čísla sme si povedali nejakú nutnú podmienku.

9. prednáška (18.11.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Pozreli sme sa na to, ako sa tieto funkcie správajú pre veľké $n$.
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dva dôkazy malej Fermatovej vety.
(V poznámkach je ešte jeden kombinatorický dôkaz, ktorý som nerobil.)