msleziak.com

Ľavý rozklad obsahuje práve dve triedy, jedna z nich je $H$. Teda rozklad musí byť $\{H,G\setminus H\}$.
Presne to isté môžeme povedať o pravom rozklade. Tiež to musí byť $\{H,G\setminus H\}$.

Ak sa ľavý a pravý rozklad rovnajú, tak to je normálna grupa. (Toto je jedna z ekvivalentných podmienok v definícii normálnej grupy.)

Faktorová grupa $G/H$ má dva prvky, teda každý jej prvok má rád nanajvýš dva a platí preň, že druhá mocnina má neutrálny prvok.
Teda pre ľubovoľnú triedu $xH$ máme: $$(xH)^2=eH.$$
Čo je to isté ako $$(x^2)H=eH.$$
Zistili sme, že trieda prvku $x^2$ je $H$. Toto ale znamená, že $x^2$ patrí do $H$.

Prepokladajme, že by platilo $x^2\notin H$.

Potom musí platiť aj $x\notin H$. To znamená, že $xH\ne H$, rozklad $G$ podľa $H$ môžeme napísať ako $\{H,xH\}$.

Ak $x^2$ nepatrí do $H$, tak musí patriť do tej druhej triedy rozkladu, a teda $$x^2\in xH.$$
Toto ale znamená, že pre nejaké $h\in H$ platí rovnosť $$x^2=xh$$.
Z nej však hneď dostávame $x=h$, čiže $x\in H$, čo je spor.