msleziak.com

2. cvičenie (4.10.):
Prebrali sme permutácie - ich skladanie a hľadanie inverznej permutácie. (Časť 2.3 v texte k prednáške.)
Stihli sme aj zopár príkladov na grupy: Ukázali sme, že $(S_3,\circ)$, t.j. permutácie 3-prvkovej množiny so skladaním, tvoria grupu. (Úloha 3.2.2 v texte.) Vyplnili sme si celú tabuľku tejto grupy. Tiež sme si rozmysleli, ako sa na tabuľke binárnej operácie prejavia zákony o krátení a skontrolovali sme to na tejto konkrétnej tabuľke.
Potom sme sa pozreli na niekoľko jednoduchých príkladov a overili, či ide o grupy. (Napríklad $(\mathbb Z,\cdot)$, $(\mathbb R,\cdot)$, $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$; v podstate niektoré časti z úlohy 3.2.1.)
Tiež sme sa zaoberali operáciou $a\ast b=ab+a+b$. Zistili sme, že na množine $\mathbb R$ nedostaneme grupu, ale na množine $\mathbb R\setminus\{-1\}$ áno. (Úloha 3.2.3.)
Pritom sme si rozmysleli aký typ vlastností sa "dedí" z väčšej množiny na menšiu - v texte k prednáške je takéto niečo uvedené až v kapitole o vektorových priestoroch v poznámke 4.2.6.

3. cvičenie (11.10.)
Polia. Niekoľko príkladov na overenie, či je niečo poľom. (Úlohy 3.3.2d,g; úloha 3.3.10.) V prípade, že ide o podmnožinu $\mathbb R$ alebo $\mathbb C$ a operácie sú obvyklé sčitovanie a násobenie je rozumné uvedomiť si, že niektoré vlastnosti nemusíme overovať - menšie pole "zdedí" tieto vlastnosti z väčšieho.
Zopakovali sme rátanie v $\mathbb Z_5$ (úlohy 3.3.3 a 3.3.4).
Ukázali sme, že v ľubovoľnom poli platí $x^2=y^2$ $\Rightarrow$ $x=y$ $\lor$ $x=-y$. Tento fakt sme využili pri riešení úlohy 3.3.12 o riešiteľnosti rovníc $x^2=a$ v poli $\mathbb Z_{109}$.

4. cvičenie (18.10.):
Vektorové priestory. Zopakovali sme, ako sa počíta v $F^n$ (úloha 4.1.1). Niekoľko úloh typu overiť, či niečo je vektorový priestor. (Úlohy 4.1.2, 4.1.3, 4.1.5, 4.1.10). Úloha 4.1.8 ako ukážka toho, že vo vektorových priestoroch nad konečnými poľami môžu niektoré veci fungovať trochu inak ako sme zvyknutí.

Podpriestory. Vyriešili sme niektoré časti úloh 4.2.3 a 4.2.4. (Overenie, či je daná množina podpriestorom $\mathbb R^n$ resp. $\mathbb R^{\mathbb R}$.)

5. cvičenie (25.10.):
Lineárny obal. Úlohy 4.3.2 a 4.3.3.
Lineárna závislosť a nezávislosť: Úlohy 4.3.5, 4.3.6 a 4.3.9.

6. cvičenie (8.11.):
Báza a dimenzia. Z úloh 4.4.2 a 4.4.3 sme vyriešili po jednom príklade. Ďalej sme riešili úlohy 4.4.4, 4.4.5 a jeden príklad takého typu, ako úloha 4.4.6.
Potom sme sa pozreli na dimenziu priestorov
$S_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$
$S_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_1+x_2-x_3+2x_4=0\}$
$S_3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_1+x_2-x_3+2x_4=0,x_1+2x_3-x_4=0\}$
Videli sme, že pri týchto priestoroch to funguje podobne ako nám to hovorí geometrická predstava o prienikoch rovín v trojrozmernom priestore. (Neskôr si ukážeme, že to takto funguje naozaj všeobecne.)

7. cvičenie (15.11.):
Riadková ekvivalencia, úprava na RTM. Robili sme nejaké veci, ktoré sa dajú vypočítať pomocou úpravy na RTM.
Zrátali sme niektoré časti z týchto príkladov: Úloha 5.2.2, úloha 5.2.4, úloha 5.2.5. S jednou skupinou sme stihli aj úlohu 5.2.8.
Ukázali sme, ako sa dá robiť čiastočná skúška správnosti pri úprave na RTM (poznámka 5.2.19).

22.11. Písomka.

8. cvičenie (29.11.):
Matica zobrazenia, inverzná matica, súčin matíc. Úlohy 5.3.1, 5.4.2, 5.4.3, 5.5.1.
Porozprávali sme sa aj o súvise súčinu matíc s riadkovými operáciami.(Kapitola 5.6. v texte - na prednáške sa už tejto téme nebudeme venovať.)

9. cvičenie (6.12.)
Sústava rovníc, vyjadrenie množiny riešení. (Úlohy 5.7.4, 5.7.5).
Pre daný podpriestor nájsť homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je presne tento podpriestor (viď. nižšie).
Dimenzia súčtu a prieniku podpriestorov (úloha 4.5.1).
Zistenie počtu lineárnych zobrazení vyhovujúcich daným podmienkam - viď. nižšie.


1. Nájdite nejakú homogénnu sústavu rovníc so 4 neznámymi nad $\mathbb R$, ktorej riešením je daný podpriestor:
a) $S=[(1,4,0,1),(1,0,3,-3),(0,2,0,1)]$;
b) $S=[(1,-1,1,-2),(1,1,0,-1),(3,1,1,-4)]$.

2. Koľko existuje lineárnych zobrazení spĺňajúcich zadané podmienky? Koľko z nich je injektívnych? Koľko je surjektívnych?
a) $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\Zobr f{\Z_5^3}{\Z_5^4}$, $f(1,3,1)=(1,1,1,3)$, $f(2,1,3)=(0,1,3,4)$, $f(2,1,0)=(1,4,0,0)$;
b) $\Zobr f{\Z_5^4}{\Z_5^3}$, $f(1,0,3,1)=(0,1,3)$, $f(2,1,3,1)=(1,1,3)$, $f(1,1,4,1)=(2,2,1)$;
c) $\Zobr f{\Z_5^4}{\Z_5^3}$, $f(1,0,3,1)=(0,1,3)$, $f(2,1,3,1)=(1,1,3)$, $f(1,1,0,0)=(1,0,0)$.

10. cvičenie (13.12.):
Robili sme veci týkajúce sa jadra a obrazu. Konkrétne sme spravili niektoré časti z úlohy 5.8.1. Vyriešili sme aj úlohu 5.8.5.

S druhou skupinou sme stihli ešte aj tieto úlohy:$\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\newcommand{\Ima}{\operatorname{Im}}$.

Úloha. Nájdite bázu a dimenziu $\Ker f$ aj $\Ima f$ pre dané lineárne zobrazenie. Rozhodnite, či toto zobrazenie je injektívne, surjektívne, bijektívne.$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Zobr}[3]{{#1\colon #2\to #3}}\newcommand{\Zobrto}[3]{{#1\colon #2\mapsto #3}}$
a) $\Zobr f{\R^4}{\R^3}$, $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2+x_3+x_4,2x_2+x_3+x_4,4x_2+2x_3+2x_4)$.
b) $\Zobr f{M_{2,2}(\R)}{M_{2,2}(\R)}$, $\Zobrto f{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a+b&b+c\\c+d&d+a\end{pmatrix}}$
c) $\Zobr fVV$, kde $V=\{ax^2+bx+c; a,b,c\in\R\}$ je podpriestor $\R^{\R}$ a $\Zobrto f{p(x)}{p'(x)}$. (T.j. $f$ priradí polynómu $p(x)$ jeho deriváciu.)

Úloha. Nech $\Zobr fVV$ je lineárne zobrazenie a $\Zobr gVV$ je určené predpisom $g(\vec\alpha)=\vec\alpha-f(\vec\alpha)$ (inak povedané, $g=id_V-f$). Dokážte:
a) Zobrazenie $g$ je lineárne.
b) Ak $\Ker f=\Ima g$, tak $f\circ f=f$. (Zobrazenie s takouto vlastnosťou sa zvykne nazývať projekcia.)

Úloha. Dokážte, že $h(A^{T}A)=h(A)$ pre ľubovoľnú maticu typu $n\times n$ nad $\R$. (Hint 1: Možno pomôže, ak si uvedomíte, že v~$\R^n$ platí $\vec\alpha\vec\alpha^T=0$ $\Leftrightarrow$ $\vec\alpha=\vec0$. Hint 2: Iná možnosť je skúsiť to najprv dokázať pre RTM. Hint 3: Ak vymyslíte úplne iné riešenie, nedajte sa zviesť zo stopy predchádzajúcimi dvoma hintami.)

Pre tretiu úlohu sme si ukázali riešenie založené na tom, že sme dokázali rovnosť pre jadrá zobrazení $\vec\alpha\mapsto\vec\alpha A^T$ a $\vec\alpha\mapsto\vec\alpha A^TA$. Riešenie tejto úlohy sa dá pozrieť aj tu.